Question

【題目】已知：矩形ABCD中，AB=10，AD=8，點(diǎn)E是BC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊得到△AB′E。

（1）如圖(1)，點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是AD和AB′的中點(diǎn)，若點(diǎn)B′在邊DC上。

①求GH的長(zhǎng)；

②求證：△AGH≌△B′CE；

（2）如圖(2)，若點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接B′F，B′F∥AD，交DC于I。

①求證：四邊形BEB′F是菱形；

②求B′F的長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】（1）①3；②詳見(jiàn)解析；（2）①詳見(jiàn)解析；②

【解析】

（1）①由折疊的性質(zhì)可得出AB=AB′，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠ADB′=90°，在Rt△ADB′中，利用勾股定理即可得出B′D的長(zhǎng)度，再根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
②由點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)可求出AG的長(zhǎng)度，通過(guò)邊與邊的關(guān)系可得出B′C=4，由此得出B′C=AG，再通過(guò)角的計(jì)算得出∠AHG=B′EC，由此即可根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證出△AGH≌△B′CE；
（2）①連接BF，由平行線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角的中線(xiàn)的性質(zhì)即可得知△B′EF為等邊三角形，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可證出四邊形BEB′F是菱形；
②由等邊三角形和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠BEF=∠B′EF=60°，再由AB=10利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論．

（1）①∵將△ABE沿AE折疊得到△AB′E

∴AB=AB′

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ADB′=90°

在Rt△ADB′中，AD=8，AB′=10

∴B′D==6

∵點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是AD和AB′的中點(diǎn)，∴GH為△ADB′的中位線(xiàn)

∴GH=DB′=3

②證明：∵GH為△ADB′的中位線(xiàn)

∵GH∥DC，AG=AD=4

∴∠AHG=∠AB′D

∵∠AB′E=∠ABE=90°

∴∠AB′D+∠CB′E=90°

又∵∠CB′E+∠B′EC=90°

∴∠AHG=B′EC

∵CD=AB=10，DB′=6

∴B′C=4=AG

在△AGH和△B′CE中

∴△AGH≌△B′CE（AAS）．

（2）①證明：

∵將△ABE沿AE折疊得到△AB′E

∴BF=B′F，∠B′EF=∠BEF，BE=B′E

∵B′F∥AD，AD∥BC

∴B′F∥BC

∴∠B′FE=∠BEF=∠B′EF

∵∠AB′E=∠ABE=90°，點(diǎn)F為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)

∴B′F=AE=FE

∴△B′EF為等邊三角形

∴B′F=B′E

∵BF=B′F，BE=B′E

∴B′F=BF=BE=B′E

∴四邊形BEB′F是菱形

②∵△B′EF為等邊三角形

∴∠BEF=∠B′EF=60°

∴BE=ABcot∠BEF=10×=

∵四邊形BEB′F是菱形

∴B′F=BE=．