【題目】已知:矩形ABCD中,AB=10,AD=8,點(diǎn)EBC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),將△ABE沿AE折疊得到△ABE。

1)如圖(1),點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是ADAB′的中點(diǎn),若點(diǎn)B′在邊DC上。

①求GH的長(zhǎng);

②求證:△AGH≌△BCE

2)如圖(2),若點(diǎn)FAE的中點(diǎn),連接BFBFAD,交DCI。

①求證:四邊形BEBF是菱形;

②求BF的長(zhǎng)。

【答案】(1)①3;②詳見(jiàn)解析;(2)①詳見(jiàn)解析;②

【解析】

1)①由折疊的性質(zhì)可得出AB=AB′,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出∠ADB=90°,在RtADB中,利用勾股定理即可得出B′D的長(zhǎng)度,再根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
②由點(diǎn)GAD的中點(diǎn)可求出AG的長(zhǎng)度,通過(guò)邊與邊的關(guān)系可得出B′C=4,由此得出B′C=AG,再通過(guò)角的計(jì)算得出∠AHG=BEC,由此即可根據(jù)全等三角形的判定定理AAS證出AGH≌△BCE
2)①連接BF,由平行線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合直角三角的中線(xiàn)的性質(zhì)即可得知BEF為等邊三角形,根據(jù)折疊的性質(zhì)即可證出四邊形BEB′F是菱形;
②由等邊三角形和平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠BEF=BEF=60°,再由AB=10利用特殊角的三角函數(shù)值即可得出結(jié)論.

1)①∵將△ABE沿AE折疊得到△ABE

AB=AB

∵四邊形ABCD為矩形

∴∠ADB=90°

RtADB′中,AD=8,AB=10

BD==6

∵點(diǎn)G和點(diǎn)H分別是ADAB′的中點(diǎn),∴GH為△ADB′的中位線(xiàn)

GH=DB=3

②證明:∵GH為△ADB′的中位線(xiàn)

GHDCAG=AD=4

∴∠AHG=ABD

∵∠ABE=ABE=90°

∴∠ABD+CBE=90°

又∵∠CBE+BEC=90°

∴∠AHG=BEC

CD=AB=10,DB=6

BC=4=AG

在△AGH和△B′CE

∴△AGH≌△BCEAAS).

2)①證明:

∵將△ABE沿AE折疊得到△ABE

BF=BF,∠BEF=BEF,BE=BE

BFADADBC

BFBC

∴∠BFE=BEF=BEF

∵∠ABE=ABE=90°,點(diǎn)F為線(xiàn)段AE的中點(diǎn)

BF=AE=FE

∴△BEF為等邊三角形

BF=BE

BF=BFBE=BE

BF=BF=BE=BE

∴四邊形BEBF是菱形

②∵△BEF為等邊三角形

∴∠BEF=BEF=60°

BE=ABcotBEF=10×=

∵四邊形BEBF是菱形

BF=BE=

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①∠ADG=AFG;②四邊形DEFG是菱形;③DG2=AEEG;④若AB=4,AD=5,則CE=1

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(1)圖1中正方形ABCD分割成的四個(gè)小正方形中,每個(gè)正方形與原正方形的相似比為   

(2)如圖2,已知ABC中,ACB=90°,AC=4,BC=3,小明發(fā)現(xiàn)ABC也是“自相似圖形”,他的思路是:過(guò)點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D,則CD將ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,則ACD與ABC的相似比為   ;

(3)現(xiàn)有一個(gè)矩形ABCD是自相似圖形,其中長(zhǎng)AD=a,寬AB=b(a>b).

請(qǐng)從下列A、B兩題中任選一條作答:我選擇   題.

A:①如圖3﹣1,若將矩形ABCD縱向分割成兩個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個(gè)全等矩形,且與原矩形都相似,則a=   (用含n,b的式子表示);

B:①如圖4﹣1,若將矩形ABCD先縱向分割出2個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成3個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含b的式子表示);

如圖4﹣2,若將矩形ABCD先縱向分割出m個(gè)全等矩形,再將剩余的部分橫向分割成n個(gè)全等矩形,且分割得到的矩形與原矩形都相似,則a=   (用含m,n,b的式子表示).

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