Question

如圖：直線y=ax+b分別與x軸，y軸相交于A、B兩點，與雙曲線，（x＞0）相交于點P，PC⊥x軸于點C，點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，2），PC=3．
（1）求雙曲線對應的函數關系式；
（2）若點Q在雙曲線上，且QH⊥x軸于點H，△QCH與△AOB相似，請求出點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）∵點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，2），
設y₁=kx+b，
∴，
解得：，
故直線AB解析式為：y₁=x+2，
∵PC⊥x軸，PC=3，
∴3=x+2，
解得：x=2，
故P（2，3），
則3=，
解得k=6，
故雙曲線的解析式為：y=；

（2）根據Q點在雙曲線上，設Q點的坐標為（m，），
由A，B點的坐標可得：BO=2，AO=4，CO=2，
當△QCH∽△BAO時，
=，
=，
解得：m₁=1+，m₂=1-＜0（不合題意舍去），
則==，
故Q點的坐標為：（+1，）；
當△QCH∽△ABO時，
=，
=，
解得：m₁=-1＜0（不合題意舍去），m₂=3，
則==2，
故Q點的坐標為：（3，2）．
綜上所述：Q點的坐標為：（+1，）；（3，2）．
分析：（1）根據兩個函數的解析式及其與x軸的交點坐標和表示出P點的坐標根據三角形的面積k值從而求出雙曲線的函數解析式．
（2）利用（1）我們可以求出△AOB各邊的長，然后利用三角形相似求出Q點的坐標就可以．
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合試題以及用待定系數法求函數的解析式、函數圖象中三角形面積的運用、相似三角形的判定等知識點．進行分類討論得出Q點坐標是解題關鍵．