【題目】如圖1,直線y=﹣ x+8,與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C,以AC為對(duì)角線作矩形OABC,點(diǎn)P、Q分別為射線OC、射線AC上的動(dòng)點(diǎn),且有AQ=2CP,連結(jié)PQ,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(0,t).
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo).
(2)若t=1時(shí),連接BQ,求△ABQ的面積.
(3)如圖2,以PQ為直徑作⊙I,記⊙I與射線AC的另一個(gè)交點(diǎn)為E.
①若 = ,求此時(shí)t的值.
②若圓心I在△ABC內(nèi)部(不包含邊上),則此時(shí)t的取值范圍為是多少?
【答案】
(1)解:將x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,∴C(0,8),
將y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,∴A(6,0),
∵四邊形OABC是矩形,∴B(6,8)
(2)解:如圖1,
作QH⊥AB于H,當(dāng)t=1時(shí),CP=7,AQ=14,
易證AC=10,sin∠BAC= ,
∴QH=AQsin∠BAC= ,
∴S△ABQ= ;
(3)解:分類:Ⅰ、如圖2,
當(dāng)P在線段OC上,Q在線段AC上時(shí),即3<<8時(shí),
易證 =sin∠EQP=sin∠ACO= ,∴∠EQP=∠ACO,∴CP=PQ,
∵PE⊥CQ,∴CE=EQ,∴2× (8﹣t)=10﹣(16﹣2t),解得t1= ,
Ⅱ、當(dāng)Q與C重合,P在OC上時(shí),如圖3,
可得16﹣2t=10,解得t2=3,
Ⅲ、當(dāng)Q與C重合,P在OC延長(zhǎng)線上時(shí),如圖4,
可得2t﹣16=10,解得t3=13,
Ⅳ、當(dāng)P在OC延長(zhǎng)線上,Q在AC延長(zhǎng)線上時(shí),如圖5,
同Ⅰ,可得∠Q=∠PCQ,
∴CP=PQ,∴ (2t﹣16﹣10)= (t﹣8),解得t4=33,
∴t= 或3或13或33;
②當(dāng)圓心I在邊AC上時(shí),如圖6,P與C重合,Q與A重合,
∴OP=t=8,
當(dāng)圓心I在邊BC上時(shí),設(shè)⊙I與x軸交于F,連接FQ,
∵PQ是直徑,
∴QF⊥x軸,
∴FQ∥OA,CP=CF=t﹣8,
∴△CQF∽△ACO,
∴ = ,即 = ,
∴t= ,
∴若圓心I在△ABC內(nèi)部(不包含邊上),則此時(shí)t的取值范圍為8<t< ,
故答案為:8<t<
【解析】(1)將x=0代入y=﹣ x+8,得y=8,將y=0代入y=﹣ x+8,得x=6,于是得到結(jié)論;(2)如圖1,作QH⊥AB于H,當(dāng)t=1時(shí),CP=7,AQ=14,解直角三角形得到QH=AQsin∠BAC= ,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;(3)Ⅰ、如圖2,當(dāng)P在線段OC上,Q在線段AC上時(shí),解直角三角形得到解得t1= ,Ⅱ、當(dāng)Q與C重合,P在OC上時(shí),如圖3,解得t2=3,Ⅲ、當(dāng)Q與C重合,P在OC延長(zhǎng)線上時(shí),如圖4,解得t3=13,Ⅳ、當(dāng)P在OC延長(zhǎng)線上,Q在AC延長(zhǎng)線上時(shí),如圖5,同Ⅰ,解得t4=33;②當(dāng)圓心I在邊AC上時(shí),如圖6,P與C重合,Q與A重合,求得OP=t=8,當(dāng)圓心I在邊BC上時(shí),設(shè)⊙I與x軸交于F,連接FQ,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到t= ,于是得到結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握測(cè)高:測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)成比例”的原理解決;測(cè)距:測(cè)量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)為M(﹣2,﹣4),與x軸交于A、B兩點(diǎn),且A(﹣6,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)求△ABC的面積;
(3)能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:點(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),連接AD、CD.
(1)如圖1,若∠A=28°,∠B=72°,∠C=11°,求∠ADC;
(2)如圖2,若存在一點(diǎn)P,使得PB平分∠ABC,同時(shí)PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明;
(3)如圖3,在 (2)的條件下,將點(diǎn)D移至∠ABC的外部,其它條件不變,探究∠A,∠P,∠C的關(guān)系并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知單位長(zhǎng)度為1的方格中有三角形ABC.
(1)請(qǐng)畫出三角形ABC向上平移3格再向右平移2格所得的三角形A′B′C′;
(2)請(qǐng)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(在圖中畫出),然后寫出點(diǎn)B,B′的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,教學(xué)樓走廊左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜在右墻時(shí),頂端距離地面2米,求教學(xué)樓走廊的寬度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知在平面直角坐標(biāo)中,直線l:y=﹣2x+6分別交兩坐標(biāo)于A、B兩點(diǎn),M是級(jí)段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x,△OMB的面積為S.
(1)寫出S與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)△OMB的面積是△OAB面積的時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)當(dāng)△OMB是以OB為底的等腰三角形,求它的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,某市采用價(jià)格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)水的目的,該市自來(lái)水收費(fèi)價(jià)格見價(jià)目表.
價(jià)目表
每月水用量 | 單價(jià) |
不超出的部分 | 元/ |
超出不超出的部分 | 元/ |
超出的部分 | 元/ |
注:水費(fèi)按月結(jié)算.
若某戶居民月份用水,則應(yīng)收水費(fèi):元.
(1)若該戶居民月份用水,則應(yīng)收水費(fèi)_______元;
(2)若該戶居民、月份共用水(月份用水量超過(guò)月份),共交水費(fèi)元,則該戶居民月份各用水多少立方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD中,動(dòng)點(diǎn)F,E分別以相同的速度從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向C和B運(yùn)動(dòng)(任何一個(gè)點(diǎn)到達(dá)即停止),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,則線段CP的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我們規(guī)定:=(a≠0),即a的負(fù)P次冪等于a的p次冪的倒數(shù).例:=
(1)計(jì)算:=__;=__;
(2)如果=,那么p=__;如果=,那么a=__;
(3)如果=,且a、p為整數(shù),求滿足條件的a、p的取值.
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