Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²-bx+c（b＞0）的圖象經(jīng)過點A（-1，b），與y軸相交于點B，且∠ABO的余切值為3．
（1）求點B的坐標(biāo)；
（2）求這個函數(shù)的解析式；
（3）如果這個函數(shù)圖象的頂點為C，求證：∠ACB=∠ABO．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，得b=1+b+c，可得c=-1，從而得出點B的坐標(biāo)；
（2）過點A作AH⊥y軸，垂足為點H．由∠ABO的余切值為3，∴cot∠ABO=

BH

AH

=3，而AH=1，可得BH=3．又BO=1，可得HO=2，b=2，從而得出函數(shù)的解析式．
（3）由y=x²-2x-1=（x-1）²-2，得頂點C的坐標(biāo)為（1，-2）．根據(jù)已知可證明∴△ABC∽△AOB，從而得出∠ACB=∠ABO．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得b=1+b+c．
∴c=-1．
∴B（0，-1）；

（2）過點A作AH⊥y軸，垂足為點H．
∵∠ABO的余切值為3，∴cot∠ABO=

BH

AH

=3．
而AH=1，∴BH=3．
∵BO=1，∴HO=2．
∴b=2．
∴所求函數(shù)的解析式為y=x²-2x-1；

（3）由y=x²-2x-1=（x-1）²-2，得頂點C的坐標(biāo)為（1，-2）．
∴AC=2

5

，AB=

10

，BC=

2

，AO=

5

，BO=1．
∴

AC

AB

=

AB

AO

=

BC

BO

=

2

．
∴△ABC∽△AOB．
∴∠ACB=∠ABO．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，難度一般，關(guān)鍵是掌握相似三角形的證明方法．