Question

（2007•天津模擬）如圖，已知等邊三角形△ABC內(nèi)接于⊙O₁，⊙O₂與BC相切于C，與AC相交于E，與⊙O₁相交于另一點(diǎn)D，直線AD交⊙O₂于另一點(diǎn)F，交BC的延長(zhǎng)線于G，點(diǎn)F為AG的中點(diǎn)．對(duì)于如下四個(gè)結(jié)論：①EF∥BC；②BC=FC；③DE•AG=AB•EC；④弧AD=弧DC．其中一定成立的是（ ）

A．①②④
B．②③
C．①③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①連接CF，CD．運(yùn)用弦切角定理過(guò)渡到證明內(nèi)錯(cuò)角相等，從而證明平行；
②FC=CE=BC；
③根據(jù)射影定理證明DE•AG=AB•EC；
④根據(jù)∠BCD=90°，則BD是直徑，又弧AB=弧BC，根據(jù)垂徑定理的推論有弧AD=弧CD．
解答：解：①連接CF，CD，
∵⊙O₂與BC相切于C，
∴CD是直徑，
∴∠CFD=90°，
∵F是AC的中點(diǎn)，
∴∠GCF=∠FCA=60°，
∴∠DCE=∠DCF=30°，
∴∠EDC=∠FDC=60°，
∴CE=CF，∠CEF=∠CFE，
∵⊙O₂與BC相切于C
∴∠FCG=∠FEC
∴∠FCG=∠EFC
∴EF∥BC，故正確；
②∵EF∥BC
∴∠CEF=60°
∴三角形CEF是等邊三角形
∴FC=CE=BC，故錯(cuò)誤；
③根據(jù)EF∥BC，CD⊥EF，得CD⊥CG，
∴CD是小圓的直徑，則∠CFD=90°，
根據(jù)直角三角形CDG中的射影定理，得CF²=DF•DG，
再結(jié)合上述的證明結(jié)論，即可得到DE•AG=AB•EC，故正確；
④根據(jù)∠BCD=90°，得BD是大圓的直徑，
∵等邊三角形△ABC內(nèi)接于⊙O₁，
∴∠ABD=∠CBD，
∴弧AD=弧DC，故正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了切線的性質(zhì)、圓周角定理的推論、三角形的中位線定理等．注意：上一個(gè)結(jié)論可以被下面所用．