Question

【題目】設在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數(shù)，記作y=f（x）．在函數(shù)y=f（x）中，當自變量x=a時，相應的函數(shù)值y可以表示為f（a）．
例如：函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3，當x=4時，f（4）=42﹣2×4﹣3=5在平面直角坐標系xOy中，對于函數(shù)的零點給出如下定義：
如果函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內對應的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且f（a）．f（b）＜0，那么函數(shù)y=f（x）在a≤x≤b的范圍內有零點，即存在c（a≤c≤b），使f（c）=0，則c叫做這個函數(shù)的零點，c也是方程f（x）=0在a≤x≤b范圍內的根．
例如：二次函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3的圖象如圖1所示．

觀察可知：f（﹣2）＞0，f（1）＜0，則f（﹣2）．f（1）＜0．所以函數(shù)f（x）=x2﹣2x﹣3在﹣2≤x≤1范圍內有零點．由于f（﹣1）=0，所以，﹣1是f（x）=x2﹣2x﹣3的零點，﹣1也是方程x2﹣2x﹣3=0的根．
（1）觀察函數(shù)y1=f（x）的圖象2，回答下列問題：
①f（a）f（b） 0（“＜”“＞”或“=”）
②在a≤x≤b范圍內y1=f（x）的零點的個數(shù)是 ．
（2）已知函數(shù)y2=f（x）=﹣ 的零點為x1 ， x2 ， 且x1＜1＜x2 ．
①求零點為x1 ， x2（用a表示）；
②在平面直角坐標xOy中，在x軸上A，B兩點表示的數(shù)是零點x1 ， x2 ， 點 P為線段AB上的一個動點（P點與A、B兩點不重合），在x軸上方作等邊△APM和等邊△BPN，記線段MN的中點為Q，若a是整數(shù)，求拋物線y2的表達式并直接寫出線段PQ長的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）＜；1
（2）

解：①∵x1、x2是零點

∴當y=0時，即﹣ =0．

方程可化簡為 x2+2（a﹣1）x+（a2﹣2a）=0．

解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2．

∵x1＜1＜x2，﹣a＜﹣a+2，

∴x1=﹣a，x2=﹣a+2．

②∵x1＜1＜x2，

∴﹣a＜1＜﹣a+2．

∴﹣1＜a＜1．

∵a是整數(shù)，

∴a=0，所求拋物線的表達式為y=﹣ x2+2 ．

此時頂點C的坐標為C（1， ）如圖2，

，

作CD⊥AB于D，連接CQ，

則AD=1，CD= ，tan∠BAC= ，

∴∠BAC=60°

由拋物線的對稱性可知△ABC是等邊三角形；

由△APM和△BPN是等邊三角形，線段MN的中點為Q可得，

點M、N分別在AC和BC邊上，四邊形PMCN的平行四邊形，

C、Q、P三點共線，且PQ= PC；

∵點P線段AB上運動的過程中，P與A、B兩點不重合，

DC≤PC＜AC，DC= ，AC=2，

即 ≤PQ＜ ，

∴ ≤PQ＜1；

線段PQ的長的取值范圍為： ≤PQ＜1

【解析】解：（1）①由圖象1，得f（a）f（b）＜0，

②在a≤x≤b范圍內y1=f（x）的零點的個數(shù)是 1．
所以答案是：＜，1；