Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點H在⊙O上，E是 的中點，過點E作EC⊥AH，交AH的延長線于點C．連接AE，過點E作EF⊥AB于點F．

（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若FB=2，tan∠CAE= ，求OF的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OE，

∵點E為弧HB的中點，

∴∠1=∠2，

∵OE=OA，

∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴OE∥AC，

∵AC⊥CE，

∴OE⊥CE，

∵點E在⊙O上，

∴CE是⊙O的切線

（2）

解：連接EB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵EF⊥AB于點F，

∴∠AFE=∠EFB=90°，

∴∠2+∠AEF=∠4+∠AEF=90°，

∴∠2=∠4=∠1．

∵tan∠CAE= ，

∴tan∠4= ，

在Rt△EFB中，∠EFB=90°，F(xiàn)B=2，tan∠4= ，

∴EF= ，

在Rt△AEF中，tan∠2= ，EF=2 ，

∴AF=4，

∴AB=AF+EF=6，

∴OB=3，

∴OF=OB﹣BF=1．

【解析】（1）連接OE，由于點E為弧HB的中點，根據圓周角定理可知∠1=∠2，而OA=OE，那么∠3=∠2，于是∠1=∠3，根據平行線的判定可知OE∥AC，而AC⊥CE，根據平行線的性質易知∠OEC=90°，即OE⊥CE，根據切線的判定可知CE是⊙O的切線；（2）由于AB是直徑，那么∠AEB=90°，而EF⊥AB，易知∠1=∠2=∠4，那么tan∠1=tan∠2=tan∠4= ，在Rt△EFB中，利用正切可求EF，同理在Rt△AEF中，也可求AF，那么直徑AB=6，從而可知半徑OB=3，進而可求OF．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行線的判定與性質(由角的相等或互補（數量關系）的條件，得到兩條直線平行（位置關系）這是平行線的判定；由平行線（位置關系）得到有關角相等或互補（數量關系）的結論是平行線的性質)，還要掌握勾股定理的概念(直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2)的相關知識才是答題的關鍵．