Question

10．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象交x軸于A（-3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于點C（0，-3m）（其中m＞0），頂點為D．
（1）求該二次函數(shù)的解析式（系數(shù)用含m的代數(shù)式表示）；
（2）經(jīng)探究可知，S_△ABC：S_△ACD是一個定值，試求出這個比值（使用圖1）；
（3）如圖2，已知P是拋物線上的一個動點（P在第三象限內），設△APC的面積為S．當m=2時，求出S與點P的橫坐標x之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用交點式求出拋物線的解析式；
（2）如圖1，連接OD，根據(jù)S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC求出△ADC面積即可解決問題．
（2）如圖2，求出S的表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質求出最值；

解答 解：（1）∵拋物線與x軸交點為A（-3，0）、B（1，0），
∴拋物線解析式為：y=a（x+3）（x-1）．
將點C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，∴m=a，
故拋物線的解析式為：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．
（2）如圖1，連接OD．
∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴點D坐標（-1，-4m），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×4×3m=6m，
S_△ADC=S_△AOD+S_△OCD-S_△AOC=$\frac{1}{2}$×3×4m+$\frac{1}{2}$×3m×1-$\frac{1}{2}$×3×3m=3m．
∴S_△ABC：S_△ADC=6m：3m=2：1．
（3）當m=2時，C（0，-6），拋物線解析式為y=2x²+4x-6，則P（x，2x²+4x-6）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則有$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴y=-2x-6．
如圖2，過點P作PE⊥x軸于點E，交AC于點F，則F（x，-2x-6）．
∴PF=yF-yP=（-2x-6）-（2x²+4x-6）=-2x²-6x．
S=S_△PFA+S_△PFC=$\frac{1}{2}$PF•AE+$\frac{1}{2}$PF•OE=$\frac{1}{2}$PF•OA=$\frac{1}{2}$（-2x²-6x）×3
∴S=-3x²-9x=-3（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{4}$，
故S與x之間的關系式為S=-3x²-9x，
當x=-$\frac{3}{2}$時，S有最大值為$\frac{27}{4}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、圖形面積計算等知識點，難度不大．第（2）（3）問重點考查了圖形面積的計算方法．