Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(0，4)，△AOB為等邊三角形，P是x軸負(fù)半軸上一個動點(diǎn)(不與原點(diǎn)O重合)，以線段AP為一邊在其右側(cè)作等邊三角形△APQ．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，∠ABQ的大小是否發(fā)生改變？如不改變，求出其大��；如改變，請說明理由；

（3）連接OQ，當(dāng)OQ∥AB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）B（）；（2）∠ABQ=90°，始終不變，理由詳見解析；（3）P()

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，證明∠BOC=30°，OB=4，借助含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理可求出BC，OC的長，從而可解決問題；
（2）證明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解決問題；
（3）根據(jù)AB∥OQ，得出∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，從而可求出BQ的長，再根據(jù)（2）中△APO≌△AQB得出PO=BQ，即可得出結(jié)果．

解：（1）如圖1，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

∵△AOB為等邊三角形，且OA=4，
∴∠AOB=60°，OB=OA=4，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=OB=2，∴OC=，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（2，2）；
（2）∠ABQ=90°，始終不變．理由如下：
∵△APQ、△AOB均為等邊三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO與△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；
（3）如圖2，∵點(diǎn)P在x軸負(fù)半軸上，點(diǎn)Q在點(diǎn)B的下方，AB∥OQ，∠ABQ=90°，

∴∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，

∴∠OBQ=30°，
又∵OB=4，

∴OQ=2，

∴BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2，
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，0）．