Question

【題目】如圖①矩形ABCD在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OB＝3OA＝3，BC＝5，將線段BC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)E處，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)．

（1）求拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的解析式；

（2）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，F是直線BE上一動(dòng)點(diǎn)．

①如圖②，若OF⊥BE，直線PQ∥OF交直線BE于點(diǎn)Q，若以P、Q、F、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；

②若直線OF與直線BE的夾角等于∠BEO的2倍，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是，；②符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是(,-2)，（，）.

【解析】

(1)先求出OE的長(zhǎng)，然后可得點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)，代入可得拋物線的解析式；

(2)①如圖，過(guò)點(diǎn)P作直線MN⊥軸于點(diǎn)M.交直線BE于點(diǎn)N,先求出BE的解析式，然后再求出△PNQ≌△OFE,分別計(jì)算出點(diǎn)P在x軸的上方和點(diǎn)P在x軸的下方的橫坐標(biāo)值即可解答

②如圖，作OE的垂直平分線交BE于點(diǎn),作OH⊥BE于點(diǎn)，在線BE上作關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn)，求出即可求出 的坐標(biāo)；作軸于點(diǎn)S,通過(guò)解直角三角形 ,即可求出的坐標(biāo)即可解答.

(1) 由題意知，OA=1,OB=3,BC=BE=5,

∵∠BOE=90,∴OE=,

∴A(-1,0),B(3,0),E(0,-4),

∴，解之得，

∴拋物線的解析式為；

（2）①過(guò)點(diǎn)P作直線MN⊥軸于點(diǎn)M.交直線BE于點(diǎn)N,

∵直線BE經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3,0),E(0,-4)，

用待定系數(shù)法可求直線BE的解析式為

∵PQ∥OF,OF⊥BE,∴PQ⊥BE,

∵四邊形PQFO為平行四邊形，∴PQ=FO=

∵M(jìn)N∥OE,∴∠OEF=∠PNQ,∴△PNQ≌△OFE,

∴PN=OE=4,

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（，），

∴ 當(dāng)點(diǎn)P在軸的下方，PN=NM-PM=4 ,

即 ，

解之得，，（舍去），

∴，

當(dāng)點(diǎn)P在軸的上方，同理可得，

∴符合條件的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是，；

②作OE的垂直平分線交BE于點(diǎn),作OH⊥BE于點(diǎn)，在線BE上作關(guān)于點(diǎn)H的對(duì)稱點(diǎn),則,

∵，,∴,

∴,∴(,-2);

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是（，），作軸于點(diǎn)S,

則OS=，，∴ES=，

而=

∵,∴

，（，）

綜上所述，符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是(,-2)，（，）.