Question

（2013•尤溪縣質(zhì)檢）如圖，⊙O的半徑為6cm，經(jīng)過(guò)⊙O上一點(diǎn)C作⊙O的切線交半徑OA的延長(zhǎng)于點(diǎn)B，作∠ACO的平分線交⊙O于點(diǎn)D，交OA于點(diǎn)F，延長(zhǎng)DA交BC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC∥OD；
（2）如果DE⊥BC，求

AC

的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易證得∠ACD=∠ODC，即可證得AC∥OD；
（2）BC切⊙O于點(diǎn)C，DE⊥BC，易證得平行四邊形ADOC是菱形，繼而可證得△AOC是等邊三角形，則可得：∠AOC=60°，繼而求得

AC

的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵CD平分∠ACO，
∴∠OCD=∠ACD，
∴∠ACD=∠ODC，
∴AC∥OD；…（2分）

（2）∵BC切⊙O于點(diǎn)C，
∴BC⊥OC，
∵DE⊥BC，
∴OC∥DE，…（3分）
∵AC∥OD，
∴四邊形ADOC是平行四邊形，
∵OC=OD，
∴平行四邊形ADOC是菱形，…（4分）
∴OC=AC=OA，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠AOC=60°，…（6分）
∴

AC

長(zhǎng)度=

60π×6

180

=2π．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．