Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥DE交BD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H，連接BF，以下結(jié)論：①AH=BH；②∠BFH=45°；③；④DG=2BG．其中正確的結(jié)論是（ ）

A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)首先判定△BHC≌△CED，進(jìn)而利用相似三角形與性質(zhì)得出△BHG∽△DCG，進(jìn)而得出答案即可．
解答：解：∵CF⊥DE，
∴∠DCF+∠FDC=90°，
∵∠BCH+∠DCF=90°，
∴∠BCH=∠EDC，
∵∠HBC=∠ECD，
BC=CD，
∴△BHC≌△CED，
∴CE=BH，
∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，
∴AH=BH，故①AH=BH正確；
②作BM垂直于FE的延長(zhǎng)線，垂足為點(diǎn)M．
作BN⊥HF，垂足為點(diǎn)N．
易證NBMF為矩形，
因?yàn)閠an∠HCB=，
設(shè)EF的長(zhǎng)度為K，則CF=FN=2K，
易證矩形NBMF為正方形．
則BF為正方形的對(duì)角線，則②∠BFH=45°．
故②∠BFH=45°正確；
③第二問(wèn)證出，易證HN=K，BF=2K．從而易證HF+EF=BF．
故③正確，
∵AB∥CD，
∴△BHG∽△DCG，
∴=，
∴DG=2BG．故④DG=2BG正確；
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生需要有比較強(qiáng)的綜合知識(shí)．