Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，，，，是射線上一點(diǎn)，連接，沿將三角形折疊，得三角形．

（1）當(dāng)時(shí)，=_______度；

（2）如圖，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)度；

（3）當(dāng)點(diǎn)落在平行四邊形的邊上時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）85或95或5；（2）；（3）或9

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AD上或AD的延長(zhǎng)線上和點(diǎn)與AD的位置關(guān)系分類(lèi)討論，分別畫(huà)出圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求出結(jié)論；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可推出，從而得出，作于，根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出AH和BH，利用銳角三角函數(shù)求出PH，即可求出結(jié)論；

（3）分點(diǎn)落在AD、BC、CD和AB上討論，分別畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)折疊的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)和勾股定理即可分別求出結(jié)論．

解：（1）①當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上，且點(diǎn)在直線AD右側(cè)時(shí)，如下圖所示

由折疊的性質(zhì)可得；

②當(dāng)點(diǎn)P在線段AD上，且點(diǎn)在直線AD左側(cè)時(shí)，如下圖所示

由折疊的性質(zhì)可得；

③當(dāng)點(diǎn)P在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，如下圖所示

由折疊的性質(zhì)可得

綜上：=85°或95°或5°

故答案為：85或95或5；

（2）在中，，

∵，

∴，

∴，

∴，

作于，如下圖，

∴，

∴設(shè)，，

∴，

∴，

∴，．

在中，，

∴，

∴．

（3）①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如下圖，

∵，

∴，

∴，且，

∴，

設(shè)，，

∴，

∴，

∴；

②當(dāng)在上時(shí)，如下圖

由折疊可知，，，，

又∵，

∴，

∴．

∴，

∴四邊形為菱形，

∴；

③當(dāng)在CD上時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)B作BN⊥CD于N

∴DM=BN，

∵

設(shè)，，

∴，

解得：x=1

∴BN=DM=12

∵在CD上

∴≥BN=12＞BA

∴此種情況不存在；

④當(dāng)在AB上時(shí)，如下圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得點(diǎn)與點(diǎn)A關(guān)于PB對(duì)稱，即點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上，不符合題意．

綜上：當(dāng)點(diǎn)落在平行四邊形的邊上時(shí)，或9；