Question

如圖，反比例函數(shù)y₁的圖象與一次函數(shù)y₂的圖象交于A，B兩點，y₂的圖象與x軸交于點C，過A作AD⊥x軸于D，若OA=

5

，AD=

1

2

OD，點B的橫坐標為

1

2

．
（1）求一次函數(shù)的解析式及△AOB的面積．
（2）結合圖象直接寫出：當y₁＞y₂時，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于Rt△AOD中，OA=5，AD=

1

2

OD，即OD=2AD，根據(jù)勾股定理可計算出AD=1，則OD=2，則A點坐標為（-2，1），利用待定系數(shù)法先確定反比例函數(shù)的解析式為y₁=-

2

x

，利用點B的橫坐標為

1

2

可確定B點坐標為（

1

2

，-4），然后再利用待定系數(shù)法先可確定直線AB的解析式為y₂=-2x-3；為了求出△AOB的面積，可先求出C點坐標，然后利用S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC進行計算；
（2）觀察函數(shù)圖象可得到當-2＜x＜0或x＞

1

2

時，反比例函數(shù)圖象都在一次函數(shù)圖象上方，即y₁＞y₂．

解答：解：（1）如圖，連接OB，
在Rt△AOD中，OA=5，AD=

1

2

OD，即OD=2AD，
∵OD²+AD²=OA²，
∴4AD²+AD²=25，
解得AD=1，則OD=2，
∴A點坐標為（-2，1），
設y₁=

k

x

，把A（-2，1）代入得k=-2×1=-2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y₁=-

2

x

，
把x=

1

2

代入得y=-

2

1 2

=-4，
∴B點坐標為（

1

2

，-4）
設直線AB的解析式為y₂=ax+b，
把A（-2，1）、B（

1

2

，-

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

4）代入得

-2a+b=1 1 2 a+b=-4

，解得

a=-2 b=-3

，
∴直線AB的解析式為y₂=-2x-3；
把y=0代入y=-2x-3得x=-

3

2

，
∴C點坐標為（-

3

2

，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

×

3

2

×1+

1

2

×

3

2

×4=

15

4

；
（2）當y₁＞y₂時，x的取值范圍是：-2＜x＜0或x＞

1

2

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)的圖象的交點坐標滿足兩個函數(shù)圖象的解析式．也考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及勾股定理．