【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動(dòng),△DEF運(yùn)動(dòng),并滿足:點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng),且DE、始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn).
(1)求證:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說明理由;
(3)當(dāng)線段AM最短時(shí),求重疊部分的面積.

【答案】
(1)證明:∵AB=AC,

∴∠B=∠C,

∵△ABC≌△DEF,

∴∠AEF=∠B,

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,

∴∠CEM=∠BAE,

∴△ABE∽△ECM


(2)能.

解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,

∴∠AME>∠AEF,

∴AE≠AM;

當(dāng)AE=EM時(shí),則△ABE≌△ECM,

∴CE=AB=5,

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,

當(dāng)AM=EM時(shí),則∠MAE=∠MEA,

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,

即∠CAB=∠CEA,

又∵∠C=∠C,

∴△CAE∽△CBA,

,

∴CE= ,

∴BE=6﹣ = ;

∴BE=1或


(3)解:設(shè)BE=x,

又∵△ABE∽△ECM,

,

即: ,

∴CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+

∴AM=5﹣CM═ (x﹣3)2+ ,

∴當(dāng)x=3時(shí),AM最短為 ,

又∵當(dāng)BE=x=3= BC時(shí),

∴點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),

∴AE⊥BC,

∴AE= =4,

此時(shí),EF⊥AC,

∴EM= = ,

SAEM=


【解析】(1)由AB=AC,根據(jù)等邊對(duì)等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì),易證得∠CEM=∠BAE,則可證得:△ABE∽△ECM;(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析,注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案;(3)首先設(shè)BE=x,由△ABE∽△ECM,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,易得CM=﹣ + x=﹣ (x﹣3)2+ ,繼而求得AM的值,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得線段AM的最小值,繼而求得重疊部分的面積.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念,需要了解如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù),那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值(或最小值),即當(dāng)x=-b/2a時(shí),y最值=(4ac-b2)/4a;直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案.

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