Question

設(shè)h_a、h_b、h_c是銳角△ABC三邊上的高，求證：

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．

Answer 1

分析：利用直角三角形斜邊大于任一直角邊得到b＞h_a，同理可得c＞h_b，a＞h_c，得到即

ha+hb+hc

a+b+c

＜1，再設(shè)△ABC的垂心為H點(diǎn)，
得到ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)，從而問(wèn)題得證．

解答：解：如圖，在Rt△ADC中，由于AC＞AD，故b＞h_a，
同理可證c＞h_b，a＞h_c
∴h_a+h_b+h_c＜a+b+c，即

ha+hb+hc

a+b+c

＜1①
設(shè)△ABC的垂心為H點(diǎn)，
由于HA+HB＞AB，HB+HC＞BC，HC+HA＞AC，即HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)．
從而ha+hb+hc＞HA+HB+HC＞

1

2

(a+b+c)，即

ha+hb+hc

a+b+c

＞

1

2

②
由①、②得

1

2

＜

ha+hb+hc

a+b+c

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何不等式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的變形，題目較難．