整數(shù)x,x1,x2,x3,…,x2003滿足條件:x=0,|x1|=|x+1|,|x2|=|x1+1|,|x3|=|x2+1|,…,|x2003|=|x2002+1|.
(1)試用僅含x2003的代數(shù)式表示|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|,
(2)求|x1+x2+x3+…+x2002+x2003|的最小值.
【答案】
分析:(1)將各等式進行平方運算,可去掉絕對值,表示出x
20032,然后進行化簡運算即可得出答案.
(2)根據(jù)已知得出當(dāng)x
=x
2=x
4=x
1960=0,x
1=x
3=x
5=x
1959=-1,x
1961=1,x
1962=2,x
1963=3,x
2003=43時,等號成立進而求出即可.
解答:解:(1)由已知得:

于是x
20032=x
2+2(x
+x
1+x
2+x
2002)+2003,
又∵x
=0,
∴2(x
1+x
2+x
2003)=x
20032+2x
2003-2003=(x
2003+1)
2-2004,
即|x
1+x
2+x
3+…+x
2002+x
2003|=

|(x
2003+1)
2-2004|.
(2)由于x
1+x
2+x
3+…+x
2002+x
2003為整數(shù),則x
2003+1是偶數(shù),
比較|44
2-2004|與|46
2-2004|的大小,可得:
|x
1+x
2+x
3+…+x
2002+x
2003|≥

|44
2-2004|=34.
當(dāng)x
=x
2=x
4=x
1960=0,x
1=x
3=x
5=x
1959=-1,x
1961=1,x
1962=2,x
1963=3,x
2003=43時,等號成立.
所以|x
1+x
2+x
3+…+x
2002+x
2003|的最小值為34.
點評:此題考查了含有絕對值的函數(shù)最值問題,雖然以計算為載體,但首先要有試驗觀察和分情況討論的能力.