Question

【題目】“陽(yáng)光體育活動(dòng)”促進(jìn)了學(xué)校體育活動(dòng)的開展，小杰在一次鉛球比賽中，鉛球出手以后的軌跡是拋物線的一部分(如圖所示)，已知鉛球出手時(shí)離地面1.6米，鉛球離投擲點(diǎn)3米時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，在離投擲點(diǎn)8米處落地，

(1)請(qǐng)求出此軌跡所在拋物線的關(guān)系式．

(2)設(shè)拋物線與X軸另一個(gè)交點(diǎn)是E，點(diǎn)Q是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)△EBQ的周長(zhǎng)最短時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)G使得S△DEG＝19.5，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣0.1(x﹣3)2+2.5；(2)當(dāng)△EBQ的周長(zhǎng)最短時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，1)；(3)拋物線上是存在點(diǎn)G使得S△DEG＝19.5，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣5，﹣3.9)，(11，﹣3.9)．

【解析】

(1)根據(jù)題意得出拋物線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，故設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，再代入B、D的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)E和D是關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接BD與CF的交點(diǎn)為Q，這時(shí)△EBQ的周長(zhǎng)最短；求出直線BD的解析式，再求出它與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；

(3)先假設(shè)存在，看能否求出符合條件的點(diǎn)G即可.

(1)根據(jù)題意，得

B(0，1.6)，D(8，0)，CF＝3，

設(shè)拋物線解析式為y＝a(x﹣3)2+h，

將B、D兩點(diǎn)代入，得

解得

所以拋物線解析式為y＝﹣0.1+2.5．

(2)∵B(0，1.6)，D(8，0)

∴直線BD：y＝﹣0.2x+1.6．

令y＝0即0＝﹣0.1(x﹣3)2+2.5解得x1＝8，x2＝﹣2，

∴E(﹣2，0)

∵對(duì)稱軸直線x＝3．

∴當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1∴Q(3，1)．

答：當(dāng)△EBQ的周長(zhǎng)最短時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，1)．

(3)拋物線上是存在點(diǎn)G使得S△DEG＝19.5．理由如下：

設(shè)D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y，∵S△DEG＝19.5，即×10×|y|＝19.5

解得y＝±3.9．

當(dāng)y＝3.9時(shí)，x無(wú)實(shí)數(shù)根，

當(dāng)y＝﹣3.9時(shí)，x1＝11，x2＝﹣5．

∴G(﹣5，﹣3.9)，G(11，﹣3.9)．

答：拋物線上是存在點(diǎn)G使得S△DEG＝19.5，點(diǎn)G的坐標(biāo)為(﹣5，﹣3.9)，(11，﹣3.9)．