Question

（1）探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點(diǎn)M，N是直線CD上任意兩點(diǎn)．

求證：△ABM與△ABN的面積相等． 

 

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點(diǎn)M是直線CD上任一點(diǎn)，點(diǎn)G是直線EF上任一點(diǎn)．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．  

 

（2）結(jié)論應(yīng)用：    

如圖③，拋物線的頂點(diǎn)為C（1，4），交x軸于點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)D．試探究在拋物線上是否存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等？ 若存在，請求出此時點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

﹙友情提示：解答本問題過程中，可以直接使用“探究新知”中的結(jié)論．﹚    

 

Answer 1

﹙1﹚①證明：分別過點(diǎn)M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F．

∵ AD∥BC，AD＝BC，

∴ 四邊形ABCD為平行四邊形．  

∴ AB∥CD．  

∴ ME= NF．   

∵S_△ABM＝，S_△ABN＝，

∴ S_△ABM＝ S_△ABN． 

 

②相等．理由如下：分別過點(diǎn)D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K．

則∠DHA=∠EKB=90°．

∵ AD∥BE，

∴ ∠DAH=∠EBK． 

∵ AD＝BE， 

∴ △DAH≌△EBK． 

∴ DH=EK．  ……………………………2分

∵ CD∥AB∥EF，    

∴S_△ABM＝，S_△ABG＝， 

∴  S_△ABM＝ S_△ABG.  …………………………………………………………………3分

 

﹙2﹚答：存在．  …………………………………………………………………………4分

解：因?yàn)閽佄锞�的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C(1，4)，所以，可設(shè)拋物線的表達(dá)式為.

又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，將其坐標(biāo)代入上式，得，解得.

∴ 該拋物線的表達(dá)式為，即．  ………………………5分

∴ D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．

設(shè)直線AD的表達(dá)式為，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，得，解得.

∴ 直線AD的表達(dá)式為．  

過C點(diǎn)作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點(diǎn)H．則H點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2．  …………………………………………………………6分

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為．   

過E點(diǎn)作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，EF∥CG．

由﹙1﹚可知：若EP＝CH，則△ADE與△ADC的面積相等．

①若E點(diǎn)在直線AD的上方﹙如圖③-1﹚，

則PF=，EF＝．

∴ EP＝EF－PF＝=． 

∴ ． 

解得，． ……………………………7分 

當(dāng)時，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． 

∴ E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，3）．  

同理 當(dāng)m=1時，E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），與C點(diǎn)重合．  ………………………………8分

 

②若E點(diǎn)在直線AD的下方﹙如圖③－2,③－3﹚，

則．  ……………………………………………9分

∴．解得，．   ………………………………10分

當(dāng)時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；   

當(dāng)時，E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．  

∴ 在拋物線上存在除點(diǎn)C以外的點(diǎn)E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點(diǎn)的坐標(biāo)為E₁（2，3）；；．  ………………12分

﹙其他解法可酌情處理﹚