Question

已知二次函數(shù)y＝x²＋ax＋a－2．

(1)求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．

(2)設(shè)a＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式．

(3)若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)因?yàn)椤鳎絘2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 　　所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)　　(2分) 　　(2)設(shè)x1、x2是y＝x2＋ax＋a－2＝0的兩個(gè)根，則x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，因兩交點(diǎn)的距離是，所以　　(4分) 　　即：(x1－x2)2＝13 　　變形為：(x1＋x2)2－4x1·x2＝13　　(5分) 　　所以：(－a)2－4(a－2)＝13 　　整理得：(a－5)(a＋1)＝0 　　解方程得：a＝5或－1 　　又因?yàn)椋篴＜0 　　所以：a＝－1 　　所以：此二次函數(shù)的解析式為y＝x2―x―3　　(6分) 　　(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，所以：AB＝　　(8分) 　　所以：S△PAB＝ 　　所以： 　　即：|y0|＝3，則　　(10分) 　　當(dāng)y0＝3時(shí)，，即(x0－3)(x0＋2)＝0 　　解此方程得：x0＝－2或3 　　當(dāng)y0＝－3時(shí)，，即x0(x0－1)＝0 　　解此方程得：x0＝0或1　　(11分) 　　綜上所述，所以存在這樣的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2，3)，(3，3)，(0，－3)或(1，－3)　　(12分)