【題目】在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 6cm, AB= 12cm,點P 從A出發(fā)沿AC向C點以1cm/s的速度勻速移動;點Q從C出發(fā)沿CB向B點以cm/s的速度勻速移動,點P、Q分別從起點同時出發(fā),移動到某一位置時所需時間為t秒;點0為AB的中點。

(1)當t=2時,求線段PQ的長度;

(2) 連接OC,當PQ⊥0C時,求出t的值;

(3)連結(jié)PO,PQ,是否存在t的值,使△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由。

【答案】1;

2;

3)存在,.

【解析】

1)用運動時間是2秒,求出PCCQ再用勾股定理求解即可;
2)由直角三角形的性質(zhì),判斷出∠ACO=60°,結(jié)合PQOC得出∠CPQ=30°,利用三角函數(shù)求解即可;
3)利用直角三角形的性質(zhì)和中位線,得出∠PON=MOQ,再用等角的正切值相等建立方程,分兩種情況討論計算即可.

解:∵點PA出發(fā)沿ACC點以1cm/s的速度勻速移動,
AP=t
CP=6-t,
∵點QC出發(fā)沿CBB點以cm/s的速度勻速移動,
,
1)當t=2時,PC=4,CQ=,
∵∠ACB=90°
根據(jù)勾股定理得, ,
2)在RtABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,AB=12cm,
∴∠B=30°,∠A=60°,BC= ,
∵點OAB中點,
OA=OC
∴∠ACO=60°,
OCPQ的交點為D
PQOC,
∴∠PDC=90°,
∴∠CPQ=30°,
RtPCQ中, ,
,
3)存在,如圖

過點OONAC,OMBC
∵點OAB中點,
,,,
∵△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形,
∴∠PON=MOQ
,
,,

時,,,


時,

,
,
(舍),此種情況不存在;
即:存在,時,△OPQ成為以PQ為斜邊的直角三角形.

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