Question

在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE、BE、DE，過A作AE的垂線交ED于點(diǎn)P，若AE=AP=1，PB=，下列結(jié)論：
①△APD≌△AEB；②點(diǎn)B到直線AE的距離為；③S_{正方形ABCD}=4+； 
其中正確的是（ ）

A．①②③
B．只有①③
C．只有①
D．只有③

Answer 1

【答案】分析：首先利用已知條件根據(jù)邊角邊可以證明△APD≌△AEB，故選項(xiàng)①正確；由①可得∠BEP=90°，故BE不垂直于AE過點(diǎn)B作BM⊥AE延長線于M，由①得∠AEB=135°所以∠EMB=45°，所以△EMB是等腰Rt△，求出B到直線AE距離為BF，即可對于②作出判斷；根據(jù)三角形的面積公式得到S_△BPD=PD×BE=，所以S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+，由此即可對③判定．
解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠BAP+∠PAD=90°，
∵EA⊥AP，
∴∠EAB+∠BAP=90°，
∴∠PAD=∠EAB，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS），故①正確；
∵△AEP為等腰直角三角形，
∴∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=135°，
∴∠BEP=90°，
過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，則BF的長是點(diǎn)B到直線AE的距離，
在△AEP中，AE=AP=1，根據(jù)勾股定理得：PE=，
在△BEP中，PB=，PE=，由勾股定理得：BE=，
∵∠PAE=∠PEB=∠EFB=90°，AE=AP，
∴∠AEP=45°，
∴∠BEF=180°-45°-90°=45°，
∴∠EBF=45°，
∴EF=BF，
在△EFB中，由勾股定理得：EF=BF=，
故②是錯誤的；
由△APD≌△AEB，
∴PD=BE=，
∵S_△BPD=PD×BE=，
∴S_△ABD=S_△APD+S_△APB+S_△BPD=2+，
∴S_{正方形ABCD}=2S_△ABD=4+．故選項(xiàng)③正確，
則正確的序號有：①③．
故選B．
點(diǎn)評：此題分別考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形的面積及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，解題時(shí)要求熟練掌握相關(guān)的基礎(chǔ)知識才能很好解決問題．