Question

在△ABC中，AB=AC，D是直線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，求證：△ABD≌△ACE．
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出證明過程；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出完整圖形并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）首先求出∠BAD=∠CAE，再利用SAS得出△ABD≌△ACE即可；
（2）①利用△ABD≌△ACE，推出∠BAC+∠BCE=180°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；
②當(dāng)D在CB的延長線上時(shí)，α=β，求出∠BAD=∠CAE．推出△ADB和△AEC，推出∠BAC=∠BCE．根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答：證明：（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∵在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）①α+β=180°
理由：∵△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠B，
∵∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠BCE=180°，
即α+β=180°；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長線上時(shí)，α=β．
理由：∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∵在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC=∠BCE，
即α=β．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，題目比較典型，是一道證明過程類似的題目．