Question

已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為3cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)，解答下列各問(wèn)題：

（1）求的面積；
（2）當(dāng)t為何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）設(shè)四邊形APQC的面積為y()，求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是面積的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）；（2）t=2或t=1；（3）不存在

試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及三角形的面積公式求解即可；
（2）由題意此時(shí)P點(diǎn)和Q點(diǎn)移動(dòng)距離為tcm，所以AP=BQ=tcm，BP=AB-AP=3-tcm，則在△PBQ中，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t，分①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，則∠BPQ=30°，②當(dāng)PQ⊥BA時(shí)，則∠BQP=30°，兩種情況，結(jié)合含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）作QD⊥AB于D，則，根據(jù)的面積可表示出△BQD的面積，從而可得y與t的函數(shù)關(guān)系式，即可得到關(guān)于t的方程，由方程的根的判別式△即可作出判斷.
（1）；
（2）此時(shí)P點(diǎn)和Q點(diǎn)移動(dòng)距離為tcm，所以AP=BQ=tcm，BP="AB-AP=3-tcm"
在△PBQ中，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t
①當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，則∠BPQ=30°
∴BP=2BQ，即3-t=2t
∴t=1；
②當(dāng)PQ⊥BA時(shí)，則∠BQP=30°
∴BQ=2BP，即2（3-t）=t
∴t=2                 
綜上所述，t=2或t=1；
（3）作QD⊥AB于D，則 

∵

∴  
當(dāng)
∴              
化簡(jiǎn)得：

∴不存在這樣的t.
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．