Question

已知拋物線①經過點A（-1，0）、B（4，5）、C（0，-3），其對稱軸與直線BC交于點P．
（1）求拋物線①的表達式及點P的坐標；
（2）將拋物線①向右平移1個單位后再作上下平移，得到的拋物線②恰好過點P，求上下平移的方向和距離；
（3）設拋物線②的頂點為D，與y軸的交點為E，試求∠EDP的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意設拋物線的表達式為y=ax²+bx-3，將A、B兩點的坐標代入求得a、b的值，進而求得拋物線的對稱軸．根據B、C兩點的坐標求得直線BC的解析式．對稱軸與直線BC交于點P，因而P的坐標即可確定．
（2）設拋物線①向右平移1個單位后再向上平移m個單位得拋物線②，根據拋物線①的頂點式解析式，寫出拋物線②的頂點式解析式．再將（1）中得到的P點坐標值代入，即可求得m的值，那么拋物線②上下平移的方向和距離也就得知．
（3）首先根據（2）寫出拋物線②的解析式，D點的坐標也就確定．因為E點是拋物線②與y軸的交點，那么可求得P點的坐標值．首先根據D、P點的坐標，可得到直線DP與x軸夾角．再利用角間的關系及三角函數，得到結果．
解答：解：（1）據題意設拋物線的表達式為y=ax²+bx-3，
則，
解得，
∴拋物線的表達式為y=x²-2x-3，
∴對稱軸為直線x=1，
據題意設直線BC的解析式為y=kx-3，則5=4k-3，k=2，
∴直線BC的解析式為y=2x-3，
∴P（1，-1）；

（2）設拋物線①向右平移1個單位后再向上平移m個單位得拋物線②，
則拋物線②的表達式為y=（x-1-1）²-4+m，
∵拋物線②過點P，
∴-1=（1-1-1）²-4+m，
∴m=2，
∴再將它向上移動2個單位可得到拋物線②；

（3）∵拋物線①向右移動1個單位，再向上平移2個單位得到拋物線②，
∴拋物線②的表達式是y=（x-1-1）²-4+2，即y=（x-2）²-2，
∴D（2，-2），E（0，2），
∵P（1，-1），
∴直線DP過點O，且與x軸夾角為45°，
過點E作EH⊥DP于點H，
∴∠EOH=45°，
∵E（0，2），
∴EH=，而ED==2，
∴sin∠EDP==．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、拋物線的平移等知識點，綜合性強，考查學生利用拋物線的頂點式解決平移，以及數形結合的數學思想方法．