Question

【題目】已知，直線(xiàn)AB∥DC，點(diǎn)P為平面上一點(diǎn)，連接AP與CP．
（1）如圖1，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，當(dāng)∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，求∠APC．

（2）如圖2，點(diǎn)P在直線(xiàn)AB、CD之間，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，寫(xiě)出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（3）如圖3，點(diǎn)P落在CD外，∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，∠AKC與∠APC有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，過(guò)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°；

（2）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如圖2，過(guò)K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，

∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，

過(guò)P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，

∴∠BAK+∠DCK= ∠BAP+ ∠DCP= （∠BAP+∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC；

（3）解：∠AKC= ∠APC．

理由：如圖3，過(guò)K作KE∥AB，

∵AB∥CD，

∴KE∥AB∥CD，

∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，

∴∠AKC=∠AKE﹣∠CKE=∠BAK﹣∠DCK，

過(guò)P作PF∥AB，

同理可得，∠APC=∠BAP﹣∠DCP，

∵∠BAP與∠DCP的角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)K，

∴∠BAK﹣∠DCK= ∠BAP﹣ ∠DCP= （∠BAP﹣∠DCP）= ∠APC，

∴∠AKC= ∠APC．

【解析】（1）先過(guò)P作PE∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過(guò)K作KE∥AB，平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得出∠BAK+∠DCK=∠BAP+∠DCP，進(jìn)而可得到問(wèn)題的答案；
（3）過(guò)K作KE∥AB，依據(jù)平行公理的推理可得到KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP，再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義，得出∠BAK-∠DCK=∠BAP-∠DCP=（∠BAP-∠DCP）=∠APC，進(jìn)而得到∠AKC=∠APC.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解平行線(xiàn)的性質(zhì)(兩直線(xiàn)平行，同位角相等；兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ))．