Question

【題目】如圖，點O為Rt△ABC斜邊AB上的一點，以OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AC交于點E，連接AD.

（1）求證：AD平分∠BAC；

（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求陰影部分的面積（結果保留π）.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易證得AC∥OD，繼而證得AD平分∠CAB．

（2）如圖，連接ED，根據（1）中AC∥OD和菱形的判定與性質得到四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，則圖中陰影部分的面積=扇形EOD的面積．

試題解析：（1）證明：∵⊙O切BC于D，

∴OD⊥BC，

∵AC⊥BC，

∴AC∥OD，

∴∠CAD=∠ADO，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∴∠OAD=∠CAD，

即AD平分∠CAB；

（2）設EO與AD交于點M，連接ED．

∵∠BAC=60°，OA=OE，

∴△AEO是等邊三角形，

∴AE=OA，∠AOE=60°，

∴AE=AO=OD，

又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，

∴四邊形AEDO是菱形，則△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，

∴S△AEM=S△DMO，

∴S陰影=S扇形EOD=．