Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+3ax+c（a＞0）與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC=3BO．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動點(diǎn)，求四邊形ABCD面積的最大值；
（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了B點(diǎn)坐標(biāo)，易求得OB、OC的長，進(jìn)而可將B、C的坐標(biāo)代入拋物線中，求出待定系數(shù)的值，即可得出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)A、C的坐標(biāo)，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；可過D作x軸的垂線，交AC于M，x軸于N；易得△ADC的面積是DM與OA積的一半，可設(shè)出N點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DM的長，進(jìn)而可得出四邊形ABCD的面積與N點(diǎn)橫坐標(biāo)間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABCD的最大面積．
（3）本題應(yīng)分情況討論：
①過C作x軸的平行線，與拋物線的交點(diǎn)符合P點(diǎn)的要求，此時(shí)P、C的縱坐標(biāo)相同，代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)；
②將AC平移，令C點(diǎn)落在x軸（即E點(diǎn)）、A點(diǎn)落在拋物線（即P點(diǎn)）上；可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出P點(diǎn)縱坐標(biāo)（P、C縱坐標(biāo)的絕對值相等），代入拋物線的解析式中即可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵B（1，0），
∴OB=1；
∵OC=3BO，
∴C（0，-3）；（1分）
∵y=ax²+3ax+c過B（1，0）、C（0，-3），
∴；
解這個(gè)方程組，得
∴拋物線的解析式為：（2分）

（2）過點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M、N
在中，令y=0，
得方程
解這個(gè)方程，得x₁=-4，x₂=1
∴A（-4，0）
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b
∴
解這個(gè)方程組，得
∴AC的解析式為：（3分）
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC
=
=
設(shè)，（4分）
當(dāng)x=-2時(shí)，DM有最大值3
此時(shí)四邊形ABCD面積有最大值（5分）

（3）如圖所示，
①過點(diǎn)C作CP₁∥x軸交拋物線于點(diǎn)P₁，過點(diǎn)P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點(diǎn)E₁，此時(shí)四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P₁（x，-3）
∴
解得x₁=0，x₂=-3
∴P₁（-3，-3）；
②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC=PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C（0，-3）
∴設(shè)P（x，3），
∴，
x²+3x-8=0
解得或，
此時(shí)存在點(diǎn)和
綜上所述存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P₁（-3，-3），，．
點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，綜合性強(qiáng)，難度較大．