Question

如圖，已知：將菱形ABCD置于平面直角坐標(biāo)系中．直線AB所在的直線為y=

3

4

x+b，若菱形的周長(zhǎng)為20．
（1）求b的值；
（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著射線AB出發(fā)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿著折線BCD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，P、Q的速度均為1個(gè)單位每秒，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．設(shè)△PBQ的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并注明t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，以動(dòng)點(diǎn)Q為圓心，

84

25

長(zhǎng)為半徑作⊙Q，設(shè)AB與直線PQ所夾的銳角為α，t為何值時(shí)，tan∠α=3 并判斷此時(shí)⊙Q與直線AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)菱形的周長(zhǎng)求出邊長(zhǎng)AB，再根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B，然后表示出OA、OB，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出b；
（2）利用菱形的面積求出菱形的高，然后分①點(diǎn)P在AB上時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，表示出QE，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可；②點(diǎn)P不在邊AB上時(shí)，點(diǎn)Q在邊CD上，根據(jù)平行線間的距離相等可得點(diǎn)Q到BP的距離等于菱形的高，然后根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
（3）分①點(diǎn)Q在BC上時(shí)，表示出QE，再利用勾股定理列式求出BE，然后根據(jù)tan∠α=3列式求出t，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判定即可；②點(diǎn)Q在CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于F，利用勾股定理列式求出CF，再求出BE，再根據(jù)tan∠α=3列式求出t值，然后求出DQ的長(zhǎng)度，再利用銳角三角函數(shù)求出點(diǎn)Q到AD的距離，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判定即可．

解答：解：（1）∵菱形的周長(zhǎng)為20，
∴菱形的邊長(zhǎng)AB=20÷4=5，
令x=0，則y=b，
令y=0，則

3

4

x+b=0，
解得x=-

4

3

b，
∴OA=

4

3

b，OB=b，
在Rt△AOB中，OA²+OB²=AB²，
即（

4

3

b）²+b²=5²，
解得b₁=3，b₂=-3，
∵點(diǎn)B在y軸正半軸，
∴b＞0，
∴b=3；

（2）設(shè)菱形的高為h，
∵OA=

4

3

b=4，OB=b=3，
∴AC=8，BD=6，
∴菱形的面積=5h=

1

2

×8×6，
解得h=

24

5

，
①如圖1，點(diǎn)P在AB上時(shí)，點(diǎn)Q在BC上，0＜t＜5，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，
則QE=

24

25

t，
△PBQ的面積為s=

1

2

×（5-t）×

24

25

t=-

12

25

t²+

12

5

t，
②如圖2，點(diǎn)P不在邊AB上時(shí)，點(diǎn)Q在邊CD上，5＜t＜10，
點(diǎn)Q到AB的距離等于菱形的高，
∴△PBQ的面積為s=

1

2

×（t-5）×

24

5

=

12

5

t-12，
綜上所述，s與t的關(guān)系式為s=

- 12 25 t2+ 12 5 t(0＜t＜5) 12 5 t-12(5＜t＜10)

；

（3）①點(diǎn)Q在BC上時(shí)，QE=

24

25

t，
由勾股定理得，BE=

t2-( 24 25 t)2

=

7

25

t，
∴tan∠α=

QE

PE

=

24 25 t

5-t+ 7 25 t

=3，
解得t=

125

26

，
此時(shí)，點(diǎn)Q與直線AD的距離為

24

5

，
∵

24

5

＞

84

25

，
∴⊙Q與直線AD相離；
②點(diǎn)Q在CD上時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于F，
由勾股定理得CF=

52-( 24 5 )2

=

7

5

，
所以，BE=t-5-

7

5

，
PE=PB+BE=t-5+t-5-

7

5

=2t-

57

5

，
∵tan∠α=

QE

PE

=

24 5

2t- 57 5

=3，
解得t=

13

2

，
此時(shí)，DQ=10-t=10-

13

2

=

7

2

，
∴點(diǎn)Q到直線AD的距離為：

7

2

×

24

25

=

84

25

，
∴⊙Q與直線AD相切．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，以及直線與圓的位置關(guān)系的判定，（2）難點(diǎn)在于要根據(jù)點(diǎn)P和Q的位置分情況討論，（3）根據(jù)∠α的正切列出方程求出t的值是解題的關(guān)鍵．