Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，我們定義直線y=ax﹣a為拋物線（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的“夢(mèng)想直線”；有一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，另有一個(gè)頂點(diǎn)在y軸上的三角形為其“夢(mèng)想三角形”．

已知拋物線與其“夢(mèng)想直線”交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：該拋物線的“夢(mèng)想直線”的解析式為 ，點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖，點(diǎn)M為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，將△ACM以AM所在直線為對(duì)稱軸翻折，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為N，若△AMN為該拋物線的“夢(mèng)想三角形”，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在該拋物線的“夢(mèng)想直線”上，是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（﹣2， ）；（1，0）；（2）N點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ﹣3）或（， ）；（3）E（﹣1，﹣）、F（0， ）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4， ）．

【解析】試題分析：（1）由夢(mèng)想直線的定義可求得其解析式，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可求得A、B的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)N點(diǎn)在y軸上時(shí)，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則可知AN=AC，結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)，則可求得ON的長(zhǎng)，可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)M點(diǎn)在y軸上即M點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，由條件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的長(zhǎng)，則可求得N點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）當(dāng)AC為平行四邊形的一邊時(shí)，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，可證△EFH≌△ACK，可求得DF的長(zhǎng)，則可求得F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而可求得F點(diǎn)坐標(biāo)，由HE的長(zhǎng)可求得E點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，設(shè)E（﹣1，t），由A、C的坐標(biāo)可表示出AC中點(diǎn)，從而可表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線，∴其夢(mèng)想直線的解析式為，聯(lián)立夢(mèng)想直線與拋物線解析式可得： ，解得： 或，∴A（﹣2， ），B（1，0），故答案為： ；（﹣2， ）；（1，0）；

（2）當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)，△AMN為夢(mèng)想三角形，如圖1，過(guò)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D，則AD=2，在中，令y=0可求得x=﹣3或x=1，∴C（﹣3，0），且A（﹣2， ），∴AC= =，由翻折的性質(zhì)可知AN=AC=，在Rt△AND中，由勾股定理可得DN= = =3，∵OD=，∴ON=﹣3或ON=+3，當(dāng)ON=+3時(shí)，則MN＞OD＞CM，與MN=CM矛盾，不合題意，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ﹣3）；

當(dāng)M點(diǎn)在y軸上時(shí)，則M與O重合，過(guò)N作NP⊥x軸于點(diǎn)P，如圖2，在Rt△AMD中，AD=2，OD=，∴tan∠DAM==，∴∠DAM=60°，∵AD∥x軸，∴∠AMC=∠DAO=60°，又由折疊可知∠NMA=∠AMC=60°，∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，∴MP=MN=，NP=MN=，∴此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（， ）；

綜上可知N點(diǎn)坐標(biāo)為（0， ﹣3）或（， ）；

（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，如圖3，過(guò)F作對(duì)稱軸的垂線FH，過(guò)A作AK⊥x軸于點(diǎn)K，則有AC∥EF且AC=EF，∴∠ACK=∠EFH，在△ACK和△EFH中，∵∠ACK=∠EFH，∠AKC=∠EHF，AC=EF，∴△ACK≌△EFH（AAS），∴FH=CK=1，HE=AK=，∵拋物線對(duì)稱軸為x=﹣1，∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0或﹣2，∵點(diǎn)F在直線AB上，∴當(dāng)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為0時(shí)，則F（0， ），此時(shí)點(diǎn)E在直線AB下方，∴E到y軸的距離為EH﹣OF=﹣=，即E點(diǎn)縱坐標(biāo)為﹣，∴E（﹣1，﹣）；

當(dāng)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣2時(shí)，則F與A重合，不合題意，舍去；

②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，∵C（﹣3，0），且A（﹣2， ），∴線段AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2.5， ），設(shè)E（﹣1，t），F（x，y），則x﹣1=2×（﹣2.5），y+t=，∴x=﹣4，y=﹣t，代入直線AB解析式可得﹣t=﹣×（﹣4）+，解得t=﹣，∴E（﹣1，﹣），F（﹣4， ）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)F，此時(shí)E（﹣1，﹣ ）、F（0， ）或E（﹣1，﹣）、F（﹣4， ）．