Question

如圖，拋物線y=-x²+（m+2）x-3（m-1）交x軸于A、B，交y軸于C．直線y=（m+1）x-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)Q為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于E，連CQ．當(dāng)S_△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）直線y=kx（k＜0）交直線y=（m+1）x-3于P，交拋物線y=-x²+（m+2）x-3（m-1）于點(diǎn)M，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為D，交直線y=（m+1）x-3于N．△PMN能否為等腰三角形？若能，求k的值；若不能，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題是一道二次函數(shù)綜合試題
（1）利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)求函數(shù)的解析式，當(dāng)y=0時(shí)就可以求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．再利用直線的解析式求出m的值從而求出二次函數(shù)的解析式．
（2）要求面積最大時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)，就應(yīng)該想到建立有關(guān)的表示三角形面積的二次函數(shù)求最值，把△CEQ的面積表示出來(lái)就可，關(guān)鍵是利用三角形相似求出△BQE的高．
（3）根據(jù)等腰三角形的判定及性質(zhì)分情況討論所成的等腰三角形，首先可以利用直線y=x-3求出于y軸的交點(diǎn)．然后就可以根據(jù)情況求出k值．
解答：解：（1）由-x²+（m+2）x-3（m-1）=0，
得x₁=m-1，x₂=3．
∴A（3，0）B（m-1，0）．
∵直線y=（m+1）x-3過(guò)A點(diǎn)，
∴m=0，
∴函數(shù)解析式分別為：y=-x²+2x+3，y=x-3；

（2）把x=0代入y=-x²+2x+3，得y=3．
∴C（0，3）．
設(shè)Q（m，0），過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于D．
由（1）知：B（-1，0），A（3，0），
∴AB=4，BQ=m+1
∵EQ∥AC，∴△BQE∽△BAC，
∴
即，
∴DE=
∴S_△CPD=S_△CAP-S_△DAP
=
=
=
∴當(dāng)m=1時(shí)，S_△CPD有最大值，此時(shí)P（1，0）

（3）設(shè)直線y=x-3交y軸于點(diǎn)C
∴C（0，-3），A（3，0）
∴OC=OA
∴∠OAC=∠NAD=45°
若△PMN為等腰三角形，且k＜0，則PN=PM．
當(dāng)PN=PM時(shí)，則∠PNM=∠PMN=45°
∵∠ODM=90°
∴OD=DM，設(shè)M的坐標(biāo)為（m，-m）
∴-m=km，k=-1
當(dāng)PN=MN時(shí)，
∵M(jìn)N∥OC
∴
∠ACO=∠PN
∴PC=OC=3
過(guò)點(diǎn)P作PH垂直y軸于H
∴PH=CP=
CH=PH=
OH=3-
∴P
又點(diǎn)P在直線y=kx上
∴

綜上，k=-1或k=1-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是一道二次函數(shù)綜合試題，考查了根據(jù)坐標(biāo)求解析式，三角形相似，三角形的面積，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的運(yùn)用，等腰三角形．是一道難度較大的題．