Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點(diǎn)，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）假若△PAC為直角三角形，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）y=2x2-8x+6（2）存在， （3）（3，5）

【解析】

（1）已知B（4，m）在直線y＝x＋2上，可求得m的值，拋物線圖象上的A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可將其代入拋物線的解析式中，通過待定系數(shù)法即可求得解析式；

（2）設(shè)出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)直線AB和拋物線的解析式表示出P、C的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到關(guān)于PC與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，化成頂點(diǎn)式即可；

（3）當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，根據(jù)直角頂點(diǎn)的不同，有三種情形，需要分類討論，分別求解．

（1）∵B（4，m）在直線y＝x＋2上，

∴m＝4＋2＝6，

∴B（4，6），

∵A（，），B（4，6）在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y＝2x28x＋6；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，n＋2），則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（n，2n28n＋6），

∴PC＝（n＋2）（2n28n＋6）＝2n2＋9n4＝2（n）2＋，

∵PC＞0，

∴當(dāng)n＝時(shí)，線段PC最大且為；

（3）∵△PAC為直角三角形，

i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則∠APC＝90°．

由題意易知，PC∥y軸，∠APC＝45°，因此這種情形不存在；

ii）若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則∠PAC＝90°．

如圖1，

過點(diǎn)A（，）作AN⊥x軸于點(diǎn)N，則ON＝，AN＝，

過點(diǎn)A作AM⊥直線AB，交x軸于點(diǎn)M，

則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN＝AN＝，

∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，

∴M（3，0）．

設(shè)直線AM的解析式為：y＝kx＋b，

則：，

解得，

∴直線AM的解析式為：y＝x＋3 ①

又拋物線的解析式為：y＝2x28x＋6 ②

聯(lián)立①②式，解得：x＝3或x＝（與點(diǎn)A重合，舍去）

∴C（3，0），即點(diǎn)C、M點(diǎn)重合；

當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x＋2＝5，

∴P1（3，5）；

iii）若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則∠ACP＝90°．

∵y＝2x28x＋6＝2（x2）22，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2．

如圖2，作點(diǎn)A（，））關(guān)于對(duì)稱軸x＝2的對(duì)稱點(diǎn)C，

則點(diǎn)C在拋物線上，且C（，），

當(dāng)x＝時(shí)，y＝x＋2＝，

∴P2（，）．

∵點(diǎn)P1（3，5）、P2（，）均在線段AB上，

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）或（，）．