Question

【題目】已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A坐標(biāo)為（m，0），點(diǎn)C橫坐標(biāo)為n，且m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．

（1）分別求出點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖（2），點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的直角∠EDF兩邊分別交邊BC于E，交邊AC于F，①求證：DE＝DF；②求證：S四邊形DECF＝S△ABC；

（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)G（點(diǎn)G不與點(diǎn)A重合），使得△BCG是以BC為直角邊的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（0，7），點(diǎn)C（4，4）；（2）①見解析；②見解析；（3）點(diǎn)G（-3，3）或（3，11）或（7，8）

【解析】

（1）由非負(fù)性可求m，n的值，由“AAS”可證△BCM≌△ACN，可得CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，即可求解；

（2）①由等腰直角三角形的性質(zhì)可得BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD，由“AAS”可證△BDE≌△CDF，可得DE＝DF；

②由全等三角形的性質(zhì)可得S△BDE＝S△CDF，即可得結(jié)論；

（3）分三種情況討論，由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求解．

（1）如圖（1），過點(diǎn)C作CM⊥OB，CN⊥OA，

∵m2+n2﹣2m﹣8n+17＝0．

∴（m﹣1）2+（n﹣4）2＝0，

∴m＝1，n＝4，

∴點(diǎn)A（1，0），CM＝4，

∵CM⊥OB，CN⊥OA，∠AOB＝90°，

∴四邊形OMCN是矩形，

∴∠MCN＝90°＝∠ACB，CM＝ON＝4，CN＝OM，

∴AN＝3，∠MCN-∠MVA＝∠ACB-∠MVA

∴∠BCM＝∠ACN，

∵ AC＝BC，∠BMC＝∠ANC，

∴△BCM≌△ACN（AAS）

∴CM＝CN＝4＝OM，AN＝BM＝3，

∴點(diǎn)B（0，7），點(diǎn)C（4，4）；

（2）①如圖（2），連接CD，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB中點(diǎn)，

∴BD＝CD＝AD，∠ABC＝∠BAC＝∠BCD＝∠ACD＝45°，AB⊥CD

∵∠EDF＝90°＝∠BDC，

∴∠EDF-∠EDC＝∠BDC-∠EDC

∴∠BDE＝∠CDF，

∵BD＝CD，∠ABC＝∠DCA，

∴△BDE≌△CDF（AAS）

∴DE＝DF，

②∵△BDE≌△CDF，

∴S△BDE＝S△CDF，

∴S△BDE+S△EDC＝S△CDF+S△EDC，

∴S△BDC＝S四邊形EDFC，

∵AD＝BD，

∴

∴S四邊形DECF＝ S△ABC；

（3）如圖（3），

若∠GBC＝90°，BG＝BC時(shí)，且點(diǎn)G在BC下方，過點(diǎn)G作GF⊥OB，過點(diǎn)C作CE⊥OB，

∵∠GBF+∠EBC＝90°，∠GBF+∠BGF＝90°，

∴∠EBC＝∠BGF，

∵∠BEC＝∠BFG＝90°，BG＝BC，

∴△BGF≌△CBE（AAS）

∴BF＝CE＝4，GF＝BE，

∴OF＝OB-BF=7-4=3，

∴點(diǎn)G（﹣3，3），

若 時(shí)，且點(diǎn)在BC上方，過點(diǎn) 作M⊥OB，過點(diǎn)C作CE⊥OB，

∵

∴ ，

∵

∴

∴BM＝CE＝4， ，

∴OM＝OB+BM=7+4=11，

∴ ，

若 ， 時(shí)，點(diǎn)在BC上方，過點(diǎn) 作N⊥EC，過點(diǎn)C作CE⊥OB，

∵

∴ ，

∵

∴

∴CN＝BE＝3， ，

∴EN＝4+3=7，

∴點(diǎn)

綜上所述：點(diǎn)G（﹣3，3）或G(3,11)或G(7,8)