已知:如圖所示,點(diǎn)C在線段AB上,分別以AC、BC為一邊作為等邊△ACM和等邊△BCN,連接AN、BM.
(1)求證:AN=BM;
(2)設(shè)AN、BM相交于點(diǎn)D,求證:∠ADB=120°;
(3)如果A、C、B三點(diǎn)不在同一直線上,那么AN=BM是否仍然成立?如果成立,加以證明;如果不成立,請(qǐng)說明理由.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ACM=∠BCN=60°,CA=CM,CN=CB,可得到∠MCN=60°,則∠ACN=∠BCM=120°,然后根據(jù)“SAS”可證明△ACN≌△MCB,則AN=BM;
(2)由△ACN≌△MCB得到∠ANC=∠MBC,利用三角形外角性質(zhì)得∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°,則∠MBCC+∠NAC=60°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)=180°-60°=120°;
(3)與(1)的證明方法一樣,還是有∠ACN=∠BCM,不等于120°,同樣可證得△ACN≌△MCB,得到AN=BM.
解答:(1)證明:∵△ACM和△BCN都是等邊三角形,
∴∠ACM=∠BCN=60°,CA=CM,CN=CB,
∴∠MCN=60°,
∴∠ACN=∠BCM=120°,
∵在△ACN和△MCB中,
CA=CM
∠ACN=∠MCB
CN=CB

∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM;

(2)證明:∵△ACN≌△MCB,
∴∠ANC=∠MBC,
∵∠BCN=∠NAC+∠ANC=60°,
∴∠MBCC+∠NAC=60°
∴∠ADB=180°-(∠DAB+∠DBA)=180°-60°=120°;

(3)解:AN=BM仍然成立.理由如下:
∵△ACM和△BCN都是等邊三角形,
∴∠ACM=∠BCN=60°,CA=CM,CN=CB,
∴∠ACM+∠MCN=∠BCN+∠MCN,
∴∠ACN=∠BCM,
∵在△ACN和△MCB中,
CA=CM
∠ACN=∠MCB
CN=CB
,
∴△ACN≌△MCB(SAS),
∴AN=BM.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì):有兩組邊對(duì)應(yīng)相等,且它們所夾的角也相等,那么這兩個(gè)三角形全等;全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等.也考查了等邊三角形的性質(zhì).
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(3)
AE
=
EC

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