Question

如圖，已知：AB∥CD，求證：∠B+∠D+∠BED=360°．（至少用三種方法）

Answer 1

證明：（1）連接BD，如圖，
∵AB∥CD（已知），
∴∠ABD+∠CDB=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∵∠1+∠2+∠BED=180°（三角形內(nèi)角和為180°），
∴∠ABD+∠1+∠CDB+∠2+∠BED=360°，
即∠ABE+∠CDE+∠BED=360°．

（2）延長DE交AB延長線于F，如圖
∵AB∥CD（已知），
∴∠F+∠D=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）．
∵∠ABE=∠FEB+∠F，
∠BED=∠FBE+∠F（三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）
∴∠ABE+∠CDE+∠BED
=∠FEB+∠F+∠CDE+∠FBE+∠F
=180°+180°
=360°．

（3）過點E作EF∥AB，如圖
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD（如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）
∴∠B+∠BEF=180°
∠D+∠DEF=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）
∴∠B+∠BEF+∠D+∠DEF
=180°+180°
=360°．
分析：要證明∠B+∠D+∠BED=360°，可利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補及三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線求解．
點評：熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角、外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．