Question

【題目】如圖，已知直線AB經過⊙O上的點C，且OA=OB，CA=CB，OA交⊙O于點E．
（1）證明：直線AB與⊙O相切；
（2）若AE=a，AB=b，求⊙O的半徑；（結果用a，b表示）
（3）過點C作弦CD⊥OA于點H，試探究⊙O的直徑與OH、OB之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖所示：連接CO，

∵OA=OB，AC=BC，

∴OC⊥AB，

∵OC為⊙O的半徑，

∴直線AB與⊙O相切

（2）解：在直角三角形OAC中用勾股定理就可以了．設半徑為r，則OC=r，OA=a+r，

AC= AB= b，

在Rt△AOC中，

OC2+AC2=OA2，

則r2+ b2=（a+r）2，

解得：r= ﹣

（3）解：d2=4OH×OB，

理由：∵OA⊥CD，OC⊥AC，

∴∠OCA=∠OHC，

∵∠HOC=∠COA，

∴△HOC∽△COA，

∴ ，

即OC2=OH×OA，

∵OC垂直平分AB，

∴OA=OB，

設直徑為d，則OC= ，

∴（ ）2=OH×OB，

即d2=4OH×OB．

【解析】（1）利用段垂直平分線的性質得出OC⊥AB，進而得出答案即可；（2）利用勾股定理得出OC2+AC2=OA2 ， 進而得出⊙O的半徑；（3）首先得出△HOC∽△COA，進而得出OC2=OH×OA，即可得出⊙O的直徑與OH、OB之間的數量關系．