Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)E，AF平分∠BAC，交BD于點(diǎn)F.

(1)求證：EF+AC=AB；

(2)點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā)，沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā)，沿著BA的延長線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C1與A1的運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C1停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動(dòng)。如圖2，A1F1平分∠BA1C1，交BD于點(diǎn)F1，過點(diǎn)F1作F1E1⊥A1C1，垂足為E1，請猜想E1F1，A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)A1E1=3，C1E1=2時(shí)，求BD的長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BD=

【解析】

（1）過F作FM⊥AB于點(diǎn)M，首先證明△AMF≌△AEF，求出MF=MB，即可知道EF+AE=AB．

（2）連接F1C1，過點(diǎn)F1作F1P⊥A1B于點(diǎn)P，F1Q⊥BC于點(diǎn)Q，證明Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化簡為E1F1+A1C1=AB．

（3）設(shè)PB=x，QB=x，PB=1，E1F1=1，又推出E1F1+A1C1=AB，得出BD= .

(1)證明：如圖1，過點(diǎn)F作FM⊥AB于點(diǎn)M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于點(diǎn)E.

∴AE=AC,∠ABD=∠CBD=45°，

∵AF平分∠BAC，

∴EF=MF，

又∵AF=AF，

∴Rt△AMF≌Rt△AEF，

∴AE=AM，

∵∠MFB=∠ABF=45°，

∴MF=MB，MB=EF，

∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB.

(2)E1F1, A1C1與AB三者之間的數(shù)量關(guān)系：E1F1+A1C1=AB

證明：如圖2,連接F1C1,過點(diǎn)F1作F1P⊥A1B于點(diǎn)P,F1Q⊥BC于點(diǎn)Q，

∵A1F1平分∠BA1C1,∴E1F1=PF1;同理QF1=PF1,∴E1F1=PF1=QF1，

又∵A1F1=A1F1,∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，

∴A1E1=A1P，

同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，

∴C1Q=C1E1，

由題意：A1A=C1C，

∴A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB，

∵PB=PF1=QF1=QB，

∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，

即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，

∴E1F1+A1C1=AB.

(3)設(shè)PB=x，則QB=x，

∵A1E1=3,QC1=C1E1=2，

Rt△A1BC1中,A1B2+BC12=A1C12，

即(3+x)2+(2+x)2=52，

∴x1=1,x2=6(舍去)，

∴PB=1，

∴E1F1=1，

又∵A1C1=5，

由(2)的結(jié)論：E1F1+A1C1=AB，

∴AB= ，

∴BD=.