【題目】如圖1,在正方形ABCD中,對角線ACBD相交于點(diǎn)E,AF平分∠BAC,交BD于點(diǎn)F.

(1)求證:EF+AC=AB;

(2)點(diǎn)C1從點(diǎn)C出發(fā),沿著線段CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B重合),同時(shí)點(diǎn)A1從點(diǎn)A出發(fā),沿著BA的延長線運(yùn)動(dòng),點(diǎn)C1A1的運(yùn)動(dòng)速度相同,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C1停止運(yùn)動(dòng)時(shí),另一動(dòng)點(diǎn)A1也隨之停止運(yùn)動(dòng)。如圖2,A1F1平分∠BA1C1,交BD于點(diǎn)F1,過點(diǎn)F1F1E1A1C1,垂足為E1,請猜想E1F1A1C1AB三者之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)A1E1=3,C1E1=2時(shí),求BD的長。

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3BD=

【解析】

1)過FFMAB于點(diǎn)M,首先證明AMF≌△AEF,求出MF=MB,即可知道EF+AE=AB

2)連接F1C1,過點(diǎn)F1F1PA1B于點(diǎn)P,F1QBC于點(diǎn)Q,證明RtA1E1F1RtA1PF1RtQF1C1RtE1F1C1后推出A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1化簡為E1F1+A1C1=AB

3)設(shè)PB=x,QB=xPB=1,E1F1=1,又推出E1F1+A1C1=AB,得出BD= .

(1)證明:如圖1,過點(diǎn)FFMAB于點(diǎn)M,在正方形ABCD中,ACBD于點(diǎn)E.

AE=AC,ABD=CBD=45°,

AF平分∠BAC

EF=MF

又∵AF=AF,

RtAMFRtAEF,

AE=AM

∵∠MFB=ABF=45°,

MF=MB,MB=EF,

EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB.

(2)E1F1, A1C1AB三者之間的數(shù)量關(guān)系:E1F1+A1C1=AB

證明:如圖2,連接F1C1,過點(diǎn)F1F1PA1B于點(diǎn)P,F1QBC于點(diǎn)Q,

A1F1平分∠BA1C1,E1F1=PF1;同理QF1=PF1,E1F1=PF1=QF1,

又∵A1F1=A1F1,RtA1E1F1RtA1PF1,

A1E1=A1P

同理RtQF1C1RtE1F1C1,

C1Q=C1E1,

由題意:A1A=C1C

A1B+BC1=AB+A1A+BCC1C=AB+BC=2AB,

PB=PF1=QF1=QB,

A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1

2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1,

E1F1+A1C1=AB.

(3)設(shè)PB=x,則QB=x,

A1E1=3,QC1=C1E1=2

RtA1BC1,A1B2+BC12=A1C12,

(3+x)2+(2+x)2=52,

x1=1,x2=6(舍去),

PB=1,

E1F1=1,

又∵A1C1=5,

(2)的結(jié)論:E1F1+A1C1=AB

AB= ,

BD=.

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1)設(shè)每個(gè)定價(jià)增加x元,此時(shí)的銷售量是多少?(用含x的代數(shù)式表示)

2)超市若準(zhǔn)備獲得利潤6000元,并且使進(jìn)貨量較少,則每個(gè)應(yīng)定價(jià)為多少元?

3)超市若要獲得最大利潤,則每個(gè)應(yīng)定價(jià)多少元?

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(1)求二次函數(shù)的解析式,寫出頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),均以每秒2個(gè)單位長度的速度分別沿邊上運(yùn)動(dòng),設(shè)其運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).連結(jié),將沿翻折,若點(diǎn)恰好落在拋物線弧上的處,試求的值及點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)在(2)的條件下,QBN的中點(diǎn),試探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似?如果存在,請求出點(diǎn)的坐標(biāo);如果不存在,試說明理由.

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A.(1,2)

B.(9,18)

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1)求證:△ABD∽△DCE;

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3)在AC上是否存在點(diǎn)E,使△ADE是等腰三角形?若存在,求AE的長;若不存在,請說明理由.

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