Question

【題目】如圖，AB是半徑為2的⊙O的弦，將沿著弦AB折疊，正好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)C是折疊后的上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)BC交⊙O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AC，AD，EO．則下列結(jié)論：①∠ACB=120°，②△ACD是等邊三角形，③EO的最小值為1，其中正確的是_____．（請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在橫線上）

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，結(jié)合垂徑定理、三角形的性質(zhì)、同圓或等圓中圓周角與圓心的性質(zhì)等可以判斷①②是否正確，EO的最小值問題是個(gè)難點(diǎn)，這是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題，只要把握住E在什么軌跡上運(yùn)動(dòng)，便可解決問題．

如圖1，連接OA和OB，作OF⊥AB．
由題知： 沿著弦AB折疊，正好經(jīng)過圓心O
∴OF=OA= OB
∴∠AOF=∠BOF=60°
∴∠AOB=120°
∴∠ACB=120°（同弧所對(duì)圓周角相等）
∠D=∠AOB=60°（同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半）
∴∠ACD=180°-∠ACB=60°
∴△ACD是等邊三角形（有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形）
故，①②正確

下面研究問題EO的最小值是否是1

如圖2，連接AE和EF
∵△ACD是等邊三角形，E是CD中點(diǎn)
∴AE⊥BD（三線合一）
又∵OF⊥AB
∴F是AB中點(diǎn)
即，EF是△ABE斜邊中線
∴AF=EF=BF
即，E點(diǎn)在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)．
所以，如圖3，當(dāng)E、O、F在同一直線時(shí)，OE長(zhǎng)度最小
此時(shí)，AE=EF，AE⊥EF
∵⊙O的半徑是2，即OA=2，OF=1
∴AF= （勾股定理）
∴OE=EF-OF=AF-OF=-1
所以，③不正確
綜上所述：①②正確，③不正確．
故答案是：①②．