Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y=x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以A B為邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD．

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，并求邊AB的長(zhǎng)；

（2）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在x軸上找一點(diǎn)M，使△MDB的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（－6，4）；（3）M（－2，0）

【解析】

（1）由題意將y=0和x=0分別代入即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而求出邊AB的長(zhǎng)；

（2）根據(jù)題意作DH⊥軸于H，并利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得△DAH≌△ABO，進(jìn)而得出DH和OH的值即可；

（3）根據(jù)題意作D點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，并連接BE交x軸于點(diǎn)M，△MDB的周長(zhǎng)為,有為定值，只需滿(mǎn)足的值最小即可，將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短即可知道此時(shí)的M即為所求，解出直線(xiàn)BE的解析式即可得到M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）由題意直線(xiàn)y=x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，將y=0和x=0分別代入即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：A（－4，0），B（0，2），

所以AB＝.

（2）作DH⊥軸于H，

由于∠DHA＝∠BAD＝90°，

∠DAH＋∠BAO=90°，

∠BAO+∠ABO＝90°，

∴∠DAH＝∠ABO，

又DA＝AB，

∴△DAH≌△ABO（AAS），

則DH＝OA＝4，AH＝OB＝2，OH=4+2=6,

∵點(diǎn)D的坐標(biāo)在第二象限，

∴D（－6，4）.

（3）作D點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，并連接BE交x軸于點(diǎn)M，

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，E（－6，－4），

△MDB的周長(zhǎng)為：,有為定值，只需滿(mǎn)足的值最小即可，

將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短即可知道此時(shí)的M即為所求，

利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)BE的解析式為，

直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（－2，0），

故M（－2，0）．