Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點E在AB邊上且BE=1，點P，Q分別是邊BC，CD的動點（均不與頂點重合），當四邊形AEPQ的周長取最小值時，四邊形AEPQ的面積是 ．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：根據(jù)最短路徑的求法，先確定點E關(guān)于BC的對稱點E′，再確定點A關(guān)于DC的對稱點A′，連接A′E′即可得出P，Q的位置；再根據(jù)相似得出相應的線段長從而可求得四邊形AEPQ的面積．

解：如圖1所示

，

作E關(guān)于BC的對稱點E′，點A關(guān)于DC的對稱點A′，連接A′E′，四邊形AEPQ的周長最小，

∵AD=A′D=3，BE=BE′=1，

∴AA′=6，AE′=4．

∵DQ∥AE′，D是AA′的中點，

∴DQ是△AA′E′的中位線，

∴DQ=AE′=2；CQ=DC﹣CQ=3﹣2=1，

∵BP∥AA′，

∴△BE′P∽△AE′A′，

∴=，即=，BP=，CP=BC﹣BP=3﹣=，

S四邊形AEPQ=S正方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△PCQ﹣SBEP=9﹣AD×DQ﹣CQ×CP﹣BE×BP

=9﹣×3×2﹣×1×﹣×1×=，

故答案為：．