Question

【題目】已知在扇形AOB中，圓心角∠AOB＝120°，半徑OA＝OB＝8．

（1）如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥OB，交弧AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)E作EF⊥OA于點(diǎn)F，求FO的長，∠FEO的度數(shù)；

（2）如圖2，設(shè)點(diǎn)P為弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M，PN⊥OB于點(diǎn)N，點(diǎn)M，N分別在半徑OA，OB上，連接MN，則

①求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長是多少？

②MN的長度是否是定值？如果是，請求出這個(gè)定值；若不是，請說明理由；

（3）在（2）中的條件下，若點(diǎn)D是△PMN的外心，直接寫出點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長．

Answer 1

【答案】（1）OF＝4，∠FEO＝60°，（2）①點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為；②MN＝4，是定值；（3）點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長為．

【解析】

（1）先求出∠AOE，即可得出結(jié)論；

（2）①當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PMB＝30°，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PNA＝30°，進(jìn)而求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，最后用弧長公式即可得出結(jié)論；

②先判斷出點(diǎn)P，M，O，N四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即⊙H上，進(jìn)而求出MK＝2，即可得出結(jié)論；

（3）先判斷出三角形PMN的外接圓的圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡，最后根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．

（1）∵OE⊥OB，

∴∠BOE＝90°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠AOE＝30°，

∵EF⊥OA，

∴∠EFO＝90°，

在Rt△EFO中，OE＝OB＝8．

∴OF＝OEcos30°＝4，∠FEO＝90°﹣30°＝60°，

故答案為：4，60；

（2）①點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)，其路徑也是一段弧，由題意可知，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PMB＝30°，

當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)O重合時(shí)，∠PNA＝30°，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長＝；

②是定值；

如圖1，連接PO，取PO的中點(diǎn)H，連接MH，NH，

∵在Rt△PMO和Rt△PNO中，點(diǎn)H是斜邊PO的中點(diǎn)，

∴MH＝NH＝PH＝OH＝PO＝4，

∴根據(jù)圓的定義可知，點(diǎn)P，M，O，N四點(diǎn)均在同一個(gè)圓，即⊙H上，

又∵∠MON＝120°，∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴∠MPN＝60°，∠MHN＝2∠MPN＝120°，

過點(diǎn)H作HK⊥MN，垂足為點(diǎn)K，

由垂徑定理得，MK＝KN＝MN，

∴在Rt△HMK中，∠MHK＝60°，MH＝4，則MK＝2，

∴MN＝2MK＝4，是定值．

（3）由（2）知，點(diǎn)P，M，O，N四點(diǎn)共圓，

∴H是△PMN的外接圓的圓心，

即：點(diǎn)H和點(diǎn)D重合，

∴OD＝PD，

∴點(diǎn)D是以點(diǎn)O為圓心OP＝4為半徑，

∵點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)的圓心角是120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路經(jīng)長為．