Question

如圖1，已知Rt△ABC中，AB=BC，AC=2，把一塊含30°角的三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上（直角三角板的短直角邊為DE，長直角邊為DF），點(diǎn)C在DE上點(diǎn)B在DF上．
（1）求重疊部分△BCD的面積；
（2）如圖2，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30度，DE交BC于點(diǎn)M，DF交AB于點(diǎn)N，①請說明DM=DN；②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，請求出重疊部分的面積，若不發(fā)生變化，請說明理由；
（3）如圖3，將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90），DE交BC于點(diǎn)M，DF交AB于點(diǎn)N，則DM=DN的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分△DMN的面積會變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）

Answer 1

分析：（1）重疊部分△BCD是一個(gè)等腰直角三角形，求出其直角邊，即可求解；
（2）作DQ⊥BC，DN⊥AB分別于點(diǎn)Q，P，證明△MDQ≌△NDP即可求得；
（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，可以直接寫出．

解答：解：（1）連結(jié)BD．
∵AB=BC，AC=2，
∴CD=

1

2

AD=1，
則△BCD的面積是

1

2

×CD•BD=

1

2

×1×1=

1

2

；

（2）作DQ⊥BC，DP⊥AB分別于點(diǎn)Q，P，
又∵AB=BC，CD=AD，
∴∠A=∠C，
∴△CDQ≌△ADP，
∴DQ=DP，
則四邊形BQDP是正方形．
∵∠EDQ+∠QDN=∠NDP+∠QDN
∴∠EDQ=∠NDP
又∵∠MQD=∠NPD
∴△MDQ≌△NDP，
∴DM=DN，
∴直角三角板DEF繞D點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30度，
此條件下重疊部分的面積等于正方形BQDP的面積是DQ²=（

2

2

）²=

1

2

．

（3）DM=DN的結(jié)論仍成立，面積不會變．

點(diǎn)評：正確理解題目中敘述的旋轉(zhuǎn)過程，正確作出題目中的兩條輔助線是解決本題的關(guān)鍵．