Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D為BC邊上的點(diǎn)，將DA繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DE．

（1）如圖1，若AD＝DC，則BE的長為　 　，BE2+CD2與AD2的數(shù)量關(guān)系為　 　；

（2）如圖2，點(diǎn)D為BC邊山任意一點(diǎn)，線段BE、CD、AD是否依然滿足（1）中的關(guān)系，試證明；

（3）M為線段BC上的點(diǎn)，BM＝1，經(jīng)過B、E、D三點(diǎn)的圓最小時(shí)，記D點(diǎn)為D1，當(dāng)D點(diǎn)從D1處運(yùn)動到M處時(shí)，E點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為　 　．

Answer 1

【答案】（1）2；BE2+CD2＝4AD2；（2）能滿足（1）中的結(jié)論，見解析；（3）2

【解析】

（1）依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°，再證明：△BDE≌△BDA，利用勾股定理可得結(jié)論；

（2）將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABD′，再證明：∠D′BE＝∠D′AE＝90°，利用勾股定理即可證明結(jié)論仍然成立；

（3）從（2）中發(fā)現(xiàn)：∠CBE＝30°，即：點(diǎn)D運(yùn)動路徑是線段；分別求出點(diǎn)D位于D1時(shí)和點(diǎn)D運(yùn)動到M時(shí)，對應(yīng)的BE長度即可得到結(jié)論．

解：（1）如圖1，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∵AD＝DC

∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADB＝∠CAD+∠ACB＝60°，

∴∠BAD＝90°，

由旋轉(zhuǎn)得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°

∴△BDE≌△BDA（SAS）

∴∠BED＝∠BAD＝90°，BE＝AB＝

∴BE2+CD2＝BE2+DE2＝BD2

∵＝cos∠ADB＝cos60°＝

∴BD＝2AD

∴BE2+CD2＝4AD2；

故答案為：；BE2+CD2＝4AD2；

（2）能滿足（1）中的結(jié)論．如圖2，將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABD′，使AC與AB重合，

∵∠DAD′＝120°，∠BAD′＝∠CAD，∠ABD′＝∠ACB＝30°，AD′＝AD＝DE，∠DAE＝∠AED＝30°，BD′＝CD，∠AD′B＝∠ADC

∴∠D′AE＝90°

∵∠ADB+∠ADC＝180°

∴∠ADB+∠AD′B＝180°

∴A、D、B、D′四點(diǎn)共圓，

同理可證：A、B、E、D四點(diǎn)共圓，A、E、B、D′四點(diǎn)共圓；

∴∠D′BE＝90°

∴BE2+BD′2＝D′E2

∵在△AD′E中，∠AED′＝30°，∠EAD′＝90°

∴D′E＝2AD′＝2AD

∴BE2+BD′2＝（2AD）2＝4AD2

∴BE2+CD2＝4AD2．

（3）由（2）知：經(jīng)過B、E、D三點(diǎn)的圓必定經(jīng)過D′、A，且該圓以D′E為直徑，

該圓最小即D′E最小，∵D′E＝2AD

∴當(dāng)AD最小時(shí)，經(jīng)過B、E、D三點(diǎn)的圓最小，此時(shí)，AD⊥BC

如圖3，過A作AD1⊥BC于D1，∵∠ABC＝30°

∴BD1＝ABcos∠ABC＝cos30°＝3，AD1＝

∴D1M＝BD1﹣BM＝3﹣1＝2

由（2）知：在D運(yùn)動過程中，∠CBE＝30°，∴點(diǎn)D運(yùn)動路徑是線段；

當(dāng)點(diǎn)D位于D1時(shí)，由（2）中結(jié)論得：，∴BE1＝

當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到M時(shí)，易求得：BE2＝

∴E點(diǎn)經(jīng)過的路徑長＝BE1+BE2＝2

故答案為：2．