【題目】如圖,△ABC中,ABAC2,∠BAC120°,DBC邊上的點(diǎn),將DAD點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到DE

1)如圖1,若ADDC,則BE的長為   ,BE2+CD2AD2的數(shù)量關(guān)系為   

2)如圖2,點(diǎn)DBC邊山任意一點(diǎn),線段BE、CD、AD是否依然滿足(1)中的關(guān)系,試證明;

3M為線段BC上的點(diǎn),BM1,經(jīng)過B、E、D三點(diǎn)的圓最小時(shí),記D點(diǎn)為D1,當(dāng)D點(diǎn)從D1處運(yùn)動到M處時(shí),E點(diǎn)經(jīng)過的路徑長為   

【答案】12BE2+CD24AD2;(2)能滿足(1)中的結(jié)論,見解析;(32

【解析】

1)依據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得:DEDACD,∠BDE=∠ADB60°,再證明:△BDE≌△BDA,利用勾股定理可得結(jié)論;

2)將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABD,再證明:∠DBE=∠DAE90°,利用勾股定理即可證明結(jié)論仍然成立;

3)從(2)中發(fā)現(xiàn):∠CBE30°,即:點(diǎn)D運(yùn)動路徑是線段;分別求出點(diǎn)D位于D1時(shí)和點(diǎn)D運(yùn)動到M時(shí),對應(yīng)的BE長度即可得到結(jié)論.

解:(1)如圖1,∵ABAC,∠BAC120°

∴∠ABC=∠ACB30°,

ADDC

∴∠CAD=∠ACB30°,∠ADB=∠CAD+ACB60°

∴∠BAD90°,

由旋轉(zhuǎn)得:DEDACD,∠BDE=∠ADB60°

∴△BDE≌△BDASAS

∴∠BED=∠BAD90°,BEAB

BE2+CD2BE2+DE2BD2

cosADBcos60°

BD2AD

BE2+CD24AD2;

故答案為:BE2+CD24AD2;

2)能滿足(1)中的結(jié)論.如圖2,將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABD,使ACAB重合,

∵∠DAD120°,∠BAD=∠CAD,∠ABD=∠ACB30°ADADDE,∠DAE=∠AED30°BDCD,∠ADB=∠ADC

∴∠DAE90°

∵∠ADB+ADC180°

∴∠ADB+ADB180°

A、D、B、D四點(diǎn)共圓,

同理可證:A、B、E、D四點(diǎn)共圓,A、E、BD四點(diǎn)共圓;

∴∠DBE90°

BE2+BD2DE2

∵在△ADE中,∠AED30°,∠EAD90°

DE2AD2AD

BE2+BD2=(2AD24AD2

BE2+CD24AD2

3)由(2)知:經(jīng)過B、ED三點(diǎn)的圓必定經(jīng)過D、A,且該圓以DE為直徑,

該圓最小即DE最小,∵DE2AD

∴當(dāng)AD最小時(shí),經(jīng)過B、E、D三點(diǎn)的圓最小,此時(shí),ADBC

如圖3,過AAD1BCD1,∵∠ABC30°

BD1ABcosABCcos30°3AD1

D1MBD1BM312

由(2)知:在D運(yùn)動過程中,∠CBE30°,∴點(diǎn)D運(yùn)動路徑是線段;

當(dāng)點(diǎn)D位于D1時(shí),由(2)中結(jié)論得:,∴BE1

當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到M時(shí),易求得:BE2

E點(diǎn)經(jīng)過的路徑長=BE1+BE22

故答案為:2

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1)求本次抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù);

2)求出統(tǒng)計(jì)圖中m、n的值;

3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,求戰(zhàn)略B所在扇形的圓心角度數(shù);

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