Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程x²+（n-2m）x+m²-mn=0①。
（1）求證：方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若m-n-1=0，求證方程①有一個(gè)實(shí)數(shù)根為1。
（3）在（2）的條件下，設(shè)方程①的另一個(gè)根為a，當(dāng)x=2時(shí)，關(guān)于m 的函數(shù)y₁=nx+am與y₂=x²+a（n-2m）x+m²-mn的圖象交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），平行于y軸的直線l與y₁、 y₂的圖象分別交于點(diǎn)C、D，當(dāng)l沿AB由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B時(shí)，求這個(gè)過(guò)程中線段CD的最大值。

Answer 1

解：（1）△=（n-2m）2-4（m2-mn）=n2 ∵n2≥0， ∴△≥0， ∴方程①有兩個(gè)實(shí)數(shù)根； （2）由m-n-1=0，得m-n=1， 當(dāng)x=1時(shí)， 等號(hào)左邊=1+n-2m+m2-mn=1+n-2m+m（m-n）=1+n-2m+m=1+n-m=0， 等號(hào)右邊=0， ∴左邊=右邊， ∴x=1是方程①的一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）解：由求根公式，得x= ∴x=m或x-=m-n， ∵m-n-10， ∴m-n=1，n=m-1， ∴a=m， 當(dāng)x=2時(shí)，y1=2n+m2=2（m-1）+ m2=m2+2m-2， y2=22+2m（n-m-m）+m（m-n）= 4+2m（-l-m）+m=-2m2-m+ 4， 如圖，當(dāng)l沿AB由點(diǎn)A平移到點(diǎn)B 時(shí)， CD=y2-y1=3m2-3m+6=-3（m+）2+ 由y1=y2，得m2+2m-2=-2m2-m+4， 解得m=-2或m=1 ∴mA=-2，mB=1 -2<-<1， ∴當(dāng)m=-時(shí)，CD取得最大值。