Question

（1）觀察發(fā)現(xiàn)：
如（a）圖，若點A，B在直線l同側，在直線l上找一點P，使AP+BP的值最�。�
做法如下：作點B關于直線l的對稱點B'，連接AB'，與直線l的交點就是所求的點P．再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P，使BP+PE的值最�。�
做法如下：作點B關于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P，故BP+PE的最小值為______

Answer 1

【答案】分析：（1）首先由等邊三角形的性質知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結果；
（2）要在直徑CD上找一點P，使PA+PB的值最小，設A′是A關于CD的對稱點，連接A′B，與CD的交點即為點P．此時PA+PB=A′B是最小值，可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結果．
（3）畫點B關于AC的對稱點B′，延長DB′交AC于點P．則點P即為所求．
解答：解：（1）BP+PE的最小值===．

（2）作點A關于CD的對稱點A′，連接A′B，交CD于點P，連接OA′，AA′，OB．
∵點A與A′關于CD對稱，∠AOD的度數(shù)為60°，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，PA=PA′，
∵點B是的中點，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
∵⊙O的直徑CD為4，
∴OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2．

（3）如圖d：首先過點B作BB′⊥AC于O，且OB=OB′，
連接DB′并延長交AC于P．
（由AC是BB′的垂直平分線，可得∠APB=∠APD）．
點評：此題主要考查軸對稱--最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質，將求折線問題轉化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．