Question

唐朝詩(shī)人李欣的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題--將軍飲馬問(wèn)題：
如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河旁邊的P點(diǎn)飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)．請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？
作法如下：如（1）圖，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AP的延長(zhǎng)線上，取B關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與河岸線相交于P，則P點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到P，飲馬之后，再由P沿直線走到B，所走的路程就是最短的．
（1）觀察發(fā)現(xiàn)
再如（2）圖，在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn)，連接EF，在線段EF上找一點(diǎn)P，使BP+AP最短．
作點(diǎn)B關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接AC交EF于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+AP的最小值為

 

．

（2）實(shí)踐運(yùn)用
如（3）圖，已知⊙O的直徑MN=1，點(diǎn)A在圓上，且∠AMN的度數(shù)為30°，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直徑MN上運(yùn)動(dòng)，求BP+AP的最小值．

（3）拓展遷移
如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0）、C（0，-3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．
①求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
②在拋物線的對(duì)稱軸直線x=1上找到一點(diǎn)M，使△ACM周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)與△ACM周長(zhǎng)最小值．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱中最短路線問(wèn)題，可以得出AC的長(zhǎng)即為BP+AP的最小值，利用三角函數(shù)關(guān)系求出即可；
（2）根據(jù)軸對(duì)稱中最短路線問(wèn)題，得出BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，即A′B是BP+AP的最小值，求出即可；
（3）運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，再求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)AM+CM取最小值時(shí)，△ACM周長(zhǎng)最小值，求出AM+CM最小值，即可得出．

解答：解：（1）∵在等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=2，∠D=120°，點(diǎn)E、F是底邊AD與BC的中點(diǎn)，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∴tan∠ACB=

AB

AC

，
∴AC=

2

3 3

=2

3

，
故答案為：2

3

；

（2）如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，則A′在⊙O上，
連接BA′交MN于P′點(diǎn)，此時(shí)BP′+AP′最�。�
由對(duì)稱性可知AP′=A′P′，
∴BP′+AP′=BP′+A′P′=A′B，
連接OA、OB、OA′，
可知弧AN=弧A′N，
則∠NOA′=∠NOA=2∠M=60°，
而點(diǎn)B為弧AN中點(diǎn)，
∴∠BON=30°
∴∠BOA′=90°
而MN=1，
∴在Rt△OA′B中，A′B=

2

2

即BP+AP的最小值

2

2

．

（3）①∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為x=1，且拋物線經(jīng)過(guò)A（-1，0）、
C（0，-3）兩點(diǎn)，分別代入二次函數(shù)解析式得：
∴

- b 2a =1 a-b+c=0 c=-3

，
解得：a=1，b=-2，c=-3，
∴二次函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3，
②得到直線BC：y=x-3，
∴M（1，-2），AC的長(zhǎng)為：

10

，
∴△ACM周長(zhǎng)最小值即是：AM+CM最小時(shí)的值，
∵AM+CM=BC=3

2

，
∴△ACM周長(zhǎng)最小值為：

10

+3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱中最短路線問(wèn)題以及圓周角定理和二次函數(shù)解析式的求法等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，利用軸對(duì)稱求最小值問(wèn)題，是近幾年中考中熱點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)該引起同學(xué)們的注意．