Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥BC交AB于點E，過點D作DF⊥AB于點F，請回答下列問題．
（1）DE與BE相等嗎？請說明理由；
（2）判斷BC，DE，EF三者的數量關系，并說明理由；
（3）平行線DE，BC之間的距離與DF的長度有何數量關系，為什么？

Answer 1

解：（1）DE=BE，理由如下：
∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC．
又BD平分∠ABC，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE．

（2）BC=DE+EF，理由如下：
∵∠FBD=∠CBD，∠DFB=∠DCB=90°，BD=BD，
∴△BDF≌△BDC．
∴BC=BF．
∴BC=BE+EF=DE+EF．

（3）平行線DE，BC之間的距離等于DF的長，理由如下：
根據（2）中已證明的全等三角形得DF=DC，即平行線DE，BC之間的距離等于DF的長．
分析：（1）中，根據平行線的性質以及等腰三角形的判定方法即可證明；
（2）中，運用全等三角形的判定以及性質，結合第（1）小題的結論即可證明；
（3）中，理解兩條平行線間的距離的概念，再根據第（2）小題證明的全等三角形即可證明．
點評：本題考查了平行線的性質、等腰三角形的判定、全等三角形的性質與判定；有平行線及角平分線的題目往往能夠得到等腰三角形，這也是解答本題的關鍵．