Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系，O為坐標(biāo)原點，點A（﹣1，0），點B（0，）．

（1）求∠BAO的度數(shù)；

（2）如圖1，將△AOB繞點O順時針得△A′OB′，當(dāng)A′恰好落在AB邊上時，設(shè)△AB′O的面積為S1，△BA′O的面積為S2，S1與S2有何關(guān)系？為什么？

（3）若將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，S1與S2的關(guān)系發(fā)生變化了嗎？證明你的判斷．

Answer 1

【答案】(1) ∠BAO=60°；(2) S1=S2;(3) S1=S2不發(fā)生變化；理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出OA，OB，再利用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AO=AA＇，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等斜邊的一半求出AO=AB，然后求出AO=AA’，，然后再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點O到AB的距離等于點A＇到AO的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；

（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BO=OB＇，AA＇=OA＇，再求出∠AON=∠A＇OM，然后再證明ΔAON≌ΔA＇OM，可得AN=A＇M，然后利用等底等高的三角形面積相等證明.

試題解析：（1）∵A（﹣1，0），B（0， ），

∴OA=1，OB=，

在Rt△AOB中，tan∠BAO==，

∴∠BAO=60°；

（2）∵∠BAO=60°，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，

∴CA'=AC=AB，

∴OA'=AA'=AO，

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，△AOA'的邊AO、AA'上的高相等，

∴△BA'O的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2.

（3）S1=S2不發(fā)生變化；

理由：如圖，過點'作A'M⊥OB．過點A作AN⊥OB'交B'O的延長線于N，

∵△A'B'O是由△ABO繞點O旋轉(zhuǎn)得到，

∴BO=OB'，AO=OA'，

∵∠AON+∠BON=90°，∠A'OM+∠BON=180°﹣90°=90°，

∴∠AON=∠A'OM，

在△AON和△A'OM中，

，

∴△AON≌△A'OM（AAS），

∴AN=A'M，

∴△BOA'的面積和△AB'O的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），

即S1=S2．