如圖，已知拋物線與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若不存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

解：（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點A（﹣2，0），
∴，解得：。
∴拋物線解析式為。
又∵，
∴對稱軸方程為：x=3。
（2）在中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2。
∴A（﹣2，0），B（8，0）。
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：
，解得。
∴直線BC的解析式為：。
（3）可判定△AOC∽△COB成立。理由如下：
在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴。
又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB。
（4）存在。
∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，∴可設點Q（3，t），則可求得：
。
①當AQ=CQ時，有，即25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0。
∴Q1（3，0）。
②當AC=AQ時，有，即t2=﹣5，此方程無實數(shù)根，
∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形。
③當AC=CQ時，有，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：。
∴點Q坐標為：Q2（3，），Q3（3，）。
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q1（3，0），Q2（3，），Q3（3，）

解析

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經(jīng)過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（6，0）、B（﹣2，0）和點C（0，﹣8）．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）設該二次函數(shù)圖象的頂點為M，若點K為x軸上的動點，當△KCM的周長最小時，點K的坐標為　 　；
（3）連接AC，有兩動點P、Q同時從點O出發(fā)，其中點P以每秒3個單位長度的速度沿折線OAC按O→A→C的路線運動，點Q以每秒8個單位長度的速度沿折線OCA按O→C→A的路線運動，當P、Q兩點相遇時，它們都停止運動，設P、Q同時從點O出發(fā)t秒時，△OPQ的面積為S．
①請問P、Q兩點在運動過程中，是否存在PQ∥OC？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②請求出S關于t的函數(shù)關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
③設S0是②中函數(shù)S的最大值，直接寫出S0的值．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，平面之間坐標系中，等腰直角三角形的直角邊BC在x軸正半軸上滑動，點C的坐標為（t，0），直角邊AC=4，經(jīng)過O，C兩點做拋物線（a為常數(shù)，a＞0），該拋物線與斜邊AB交于點E，直線OA：y2=kx（k為常數(shù)，k＞0）

（1）填空：用含t的代數(shù)式表示點A的坐標及k的值：A　   　，k=　   　；
（2）隨著三角板的滑動，當a=時：
①請你驗證：拋物線的頂點在函數(shù)的圖象上；
②當三角板滑至點E為AB的中點時，求t的值；
（3）直線OA與拋物線的另一個交點為點D，當t≤x≤t+4，|y2﹣y1|的值隨x的增大而減小，當x≥t+4時，|y2﹣y1|的值隨x的增大而增大，求a與t的關系式及t的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是x=﹣1．

（1）求拋物線對應的函數(shù)關系式；
（2）動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．
①當t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，將△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△COD．

（1）點C的坐標是　   　，線段AD的長等于　   　；
（2）點M在CD上，且CM=OM，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點G，M，求拋物線的解析式；
（3）如果點E在y軸上，且位于點C的下方，點F在直線AC上，那么在（2）中的拋物線上是否存在點P，使得以C，E，F(xiàn)，P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出該菱形的周長l；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013年四川綿陽12分）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點C的坐標為（0，﹣2），交x軸于A、B兩點，其中A（﹣1，0），直線l：x=m（m＞1）與x軸交于D．

（1）求二次函數(shù)的解析式和B的坐標；
（2）在直線l上找點P（P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求點P的坐標（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）在（2）成立的條件下，在拋物線上是否存在第一象限內(nèi)的點Q，使△BPQ是以P為直角頂點的等腰直角三角形？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（2013年四川廣安10分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點，已知點A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．

（1）求此拋物線的解析式．
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一動點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線，垂足為F，交直線AB于點E，作PD⊥AB于點D．
①動點P在什么位置時，△PDE的周長最大，求出此時P點的坐標；
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當頂點M或N恰好落在拋物線對稱軸上時，求出對應的P點的坐標．（結(jié)果保留根號）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）

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