Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，對稱軸與拋物線相交于點(diǎn)M，與x軸相交于點(diǎn)N．點(diǎn)P是線段MN上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥CP交x軸于點(diǎn)E．

（1）直接寫出拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是 ．
（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O（原點(diǎn)）重合時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到N的過程中，求動(dòng)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)的路徑長．

Answer 1

【答案】
（1）M（1，4）
（2）解：當(dāng)點(diǎn)E與O重合時(shí)，EN=1，設(shè)PN=m，
過點(diǎn)C作CF⊥MN，垂足為F，如圖1，

∵∠EPC=90°，
∴∠EPN+∠NEP=∠EPN+∠CPF=90°，
∴∠CPF=∠PEN，
∴△ENP∽△PFC
∴ ，即： ，
解得：m=
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1， ）或（1， ）
（3）解：①當(dāng)點(diǎn)P與M重合時(shí)，如圖2，

由△ENM∽△MFC可知， ，
∴EN=4，
即當(dāng)點(diǎn)P從M運(yùn)動(dòng)到F時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長EN為4；
②當(dāng)點(diǎn)P從F運(yùn)動(dòng)到N時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)到某最遠(yuǎn)點(diǎn)后，回到點(diǎn)N結(jié)束．如圖3，

設(shè)EN=y，PN=x，
由△ENP∽△PFC可知， ，即： ，
∴y= ，
當(dāng)x= 時(shí)，y有最大值，為 ；
∴E的運(yùn)動(dòng)的路徑長為： ．
【解析】拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（1，4）